Вычислить двойной интеграл

[tig81]

У меня получилось так...
\( \int \limits_{1}^{2} dx \int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} ysinxy dy= \int \limits_{1}^{2} \frac{dx}{x} \int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} ysinxy dyx \)

Объясните, что сделали после знака равенства.

[DeadChild]

Внутренний интеграл зависит от y. Внесла x под знак дифференциала, точнее домножила.

[tig81]

Далее по частям? Тогда полученный интеграл табличный.

[DeadChild]

Да... Вот что получается...
\( \int \limits_{1}^{2}\frac{dx}{x}(-\pi cos \pi x+ \frac{\pi}{2}cos \frac{\pi}{2}x+sinxy|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}) \)
Где \( sin \) пределы интегрирования в \( y \) подставлять?

[tig81]

Да, вместо у

[DeadChild]

\( \int \limits_{1}^{2} \frac{cos \pi x}{x}dx \) подобные интегралы тоже по частям?

[tig81]

Это очень похоже на интегральный косинус.

[DeadChild]

Но там ведь пределы интегрирования другие.

[DeadChild]

Что с этим интегралом делать-то?

[DeadChild]

Помогите доделать, пожалуйста)

[tig81]

Надо думать, распишите все решение подробно,  с промежуточными выкладками. Чтобы нормально можно было проверить.

[DeadChild]

\( \int \limits_{1}^{2} dx \int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} ysinxy dy=  \)
\( \int \limits_{1}^{2} \frac{dx}{x} \int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} ysinxy dyx=  \)
\( u=y  \)      \( du=1 \)
\( dv=sinxy \) \( v=-cosxy \)
\( =\int \limits_{1}^{2} \frac{dx}{x}(-ycosxy|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}+ \int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} cosxy dyx)= \)
\( \int \limits_{1}^{2}\frac{dx}{x}(-\pi cos \pi x+ \frac{\pi}{2}cos \frac{\pi}{2}x+sinxy|_{\frac{\pi}{2}}{\pi})= \)
\( \int \limits_{1}^{2}\frac{dx}{x}(-\pi cos \pi x+\frac{\pi}{2}cos \frac{\pi}{2}x+sin \pi x-sin \frac{\pi}{2}x)= \)
\( -\pi \int \limits_{1}^{2}\frac{cos \pi x}{x}dx+ \frac{\pi}{2} \int \limits_{1}^{2} \frac{cos \frac{\pi}{2}}{x}dx+\int \limits_{1}^{2} \frac{sin \pi x}{x}dx- \int \limits_{1}^{2} \frac{sin \frac{\pi}{2} x}{x}dx \)

[tig81]

\( \int \limits_{1}^{2} dx \int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} ysinxy dy=  \)
\( \int \limits_{1}^{2} \frac{dx}{x} \int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} ysinxy dyx=  \)
\( u=y  \)      \( du=1 \)
\( dv=sinxy \) \( v=-cosxy \)

Потеряли dx. Когда находили v, константа в аргументе косинуса (т.е. х) никак нигде не появляется?

[DeadChild]

это значит на \( \frac{1}{x} \) домножить надо или я что-то не понимаю?

[tig81]

Вроде как да.