Помогите, пожалуйста, с исследованием функции

[Selena]

y=(x-3)lnx^2

1) нахожу область определения функции, значение под логарифмом, должно быть больше 0, следовательно
область определения (0, + беск.)

Ищу точки разрыва, чтоб определить непрерывность:
lim (x->0-0) (0-0-3)ln(0-0)^2 = -3*ln(-0)^2 = - бесконечность  (эт правильно?)
lim (x->0+0) (0+0-3)ln(0+0)^2 = -3*ln(0)^2 = - бесконечность  (эт правильно?)

тогда 0 -точка разрыва второго рода, а также вертикальная ассимптота

ищу точки пересечения с осями координат:
Ох: (x-3)lnx^2=0 следовательно х-3=0 х=3 в т. х=3 график пересекает ось Ох
Оy: (0-3)ln0 = нет решения следовательно нет пересечения

2)четность/нечетность

y(-x)=(-x-3)ln(-x)^2 = (-x-3)lnx^2
Функция ни четна, ни нечетна.

3) Экстремумы  и монотонность
Нахожу производную первую. Она равна в итоге \( lnx^{2}+\frac{2(x-3)}{x} \)
приравниваю к нулю и дальше не могу решить, хоть ты тресни

[tig81]

lnx^2

Квадрат относится к логарифму или к х?

[Selena]

к Х
\( \ln(x^{2}) \)

[Selena]

Я упростила выражение производной, приравненной к нулю до следующего вида:
\( \ln{x}-\frac{6-2x}{2x} \)
это ,если нигде не ошиблась.

[tig81]

тогда область определения не такая будет.

[Selena]

тогда область определения не такая будет.

:oразве нет такого,что значение под логарифмом должно быть строго больше ноля.

[tig81]

:oразве нет такого,что значение под логарифмом должно быть строго больше ноля.

А если оно (значение) в квадрат возводится?
Т.е. там может стоять любое х, кроме 0.

[Selena]

:oразве нет такого,что значение под логарифмом должно быть строго больше ноля.

А если оно (значение) в квадрат возводится?
Т.е. там может стоять любое х, кроме 0.

ой блин, согласна.
конечно. Область определения (-беск.; 0) U (0; +беск.)

[tig81]

да.

[tig81]

Ищу точки разрыва, чтоб определить непрерывность:
lim (x->0-0) (0-0-3)ln(0-0)^2 = -3*ln(-0)^2 = - бесконечность  (эт правильно?)

+00, т.к. логарифм при х стремящемся к 0 стремится к -00.

lim (x->0+0) (0+0-3)ln(0+0)^2 = -3*ln(0)^2 = - бесконечность  (эт правильно?)

здесь аналогично предыдущему.

тогда 0 -точка разрыва второго рода, а также вертикальная ассимптота

только не точка 0 - это вертикальная асимптота, а прямая х=0 (а она же по совместительству и ось ординат) - вертикальная асимптота.
Другие асимптоты не находите7

ищу точки пересечения с осями координат:
Ох: (x-3)lnx^2=0 следовательно х-3=0 х=3 в т. х=3 график пересекает ось Ох

да

Оy: (0-3)ln0 = нет решения следовательно нет пересечения

т.к. х=0 не принадлежит области определения, то...

2)четность/нечетность
y(-x)=(-x-3)ln(-x)^2 = (-x-3)lnx^2
Функция ни четна, ни нечетна.

да

3) Экстремумы  и монотонность
Нахожу производную первую. Она равна в итоге \( lnx^{2}+\frac{2(x-3)}{x} \)
приравниваю к нулю и дальше не могу решить, хоть ты тресни

х=1.854550719

[Selena]

Ой, спасибо Вам большое...чего-то не могу ответить с цитированием, пролистывается вниз..пишу по пунктам Вашего цитирования:
1) поняла -3 * -00 получаем + бесконечность . А -00 это можно было наверно мне вспомнить график логарифмической функции
2) также понятно
3) да точно х=0 вертикальная ассимптота. другие -это наклонные? найду и их, только в конспекте у меня это под п.5, просто не дошла еще
последнее цитирование) а как решить уравнение мое получившееся ?
я правильно упростила? до \( ln(x)=\frac{6-2x}{2x} \)

[tig81]

другие -это наклонные?

и горизонтальные

найду и их, только в конспекте у меня это под п.5, просто не дошла еще

ясно

а как решить уравнение мое получившееся ?

Хм...

я правильно упростила? до \( ln(x)=\frac{6-2x}{2x} \)

а как упростили? 

[Selena]

упрощала ну вот так:
 log_ax^p=plog_ax
поэтому
2lnx+2(x-3)/x=0
2xlnx+2x-6/x=0
числитель приравниваю к нулю и еще можно сократить на 2
xlnx+x-3=0
lnx=3-x/x

[tig81]

Скобки не потеряли?

[Selena]

   ну вот так в итоге получилось \( \ln(x)=\frac{3-x}{x} \)