Сходимость интеграла

[vitalfan]

Исследовать на сходимость интеграл:
\(
\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{tg(1/x)}}
{{1 + x\sqrt x }}}  = \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{tg(1/x)}}
{{1 + {x^{3/2}}}}} ..
 \)
Я так понимаю его нужно сравнить с каким то эквивалентным интегралом?

[renuar911]

Интеграл сходится и сходится к числу 0,5387...

[vitalfan]

А как это доказать?

[renuar911]

У меня получилось только численным анализом. Например,  в интервале от 1 до 4 такие результаты и график:



Если интеграл разложить в ряд Тейлора при бесконечном х, то:

\( 2/3\,{x}^{-3/2}-1/3\,{x}^{-3}+2/21\,{x}^{-7/2}+2/9\,{x}^{-9/2}-1/15\,{
x}^{-5} ...
 \)

при x=1 этот укороченный ряд приблизительно равен 0.584 , что похоже на правду.

[vitalfan]

А можно его сравнить с интегралом
\( \frac{1}
{{{x^{3/2}}}}
 \)
и т.к. 3/2 больше 1 => интеграл сходится?

[renuar911]

Да, но с тангенсом как быть? У него огого какие полеты.

[vitalfan]

Значит только численным анализом да?

[renuar911]

Подожди другие комментарии. Я в этом деле по части теории не очень.

[vitalfan]

хорошо)

[ELEK1984]

Полетов у тангенса \( \ tg (\frac{1}{x}) \) на промежутке от [1, \( + \infinity \))  и не будет)
\( 0< \frac{1}{x}<=1 \), а на таком промежутке тангенс непрерывен вовсе)

Так что.... Все норм

[vitalfan]

 Все разобрался спасибо))