Исследовать на непрерывность функцию

[Selena]

Исследовать функцию y=1/((x-3)^2*x) на непрерывность в точках х=1, х=0, х=3

вот тут вообще засада. Разбиралась я что-то, вроде как пределы надо находить.темный лес что-то для меня это, вспомнить никак не могу эти правые-левые пределы.

Поняла пока только ,что х принадлежит следующей области определения: (-беск.;0) U (0;3) U (3; +беск.)

[tig81]

Отсюда ссылка скачайте первую часть Рябушко и посмотрите, что и как надо делать. Да, здесь надо находить односторонние пределы.

[Semen_K]

Надеюсь что график поможет

[Selena]

из графика понимаю,что 0 и 3 точки разрыва (также это ясно изобласти определения функции)

А вот с односторонними пределами труба:
вот беру первое значение х=1 (согласно области определения я могу взять значения х, которые будут меньше 1, но больше 0)
первый предел, когда х стремится к 1 слева
lim (x->1-0) от функци 1/((х-3)^2)*x  потом мы вместо х в уме подставляем значения х, которые меньше 1 ..таК?
вот беру я к примеру 0,5 подставляю в предел и получаю вполне нормальное значение , не бесконечность , не ноль.
 

[tig81]

первый предел, когда х стремится к 1 слева
lim (x->1-0) от функци 1/((х-3)^2)*x  потом мы вместо х в уме подставляем значения х, которые меньше 1 ..таК?

Но очень близкое к 1 ,т.е. например, 0,99999999999999999999999999999999999999999

вот беру я к примеру 0,5

Нет, это значени очень грубо взято.

[Selena]

ну вот подставляю 0,999999 в свой предел:
1/(0,(9)-3)^2*0,(9) и получаю вполне как бы нормальное число

[tig81]

ну вот подставляю 0,999999 в свой предел:
1/(0,(9)-3)^2*0,(9) и получаю вполне как бы нормальное число

Это плохо?

[Selena]

ну вот смотрите как получается:
 левосторонний предел lim(x->1-0) от функции 1/(0,99-3)^2*0,99 приблизительно получается 0,25
правосторонний предел lim(x->1+0) от функции (1/(1,1-3)^2*1,1) что также приблизительно равно 0,25

подставляю 1 в функцию получаю 1/4=0,25

[tig81]

Тогда какой вывод можно сделать?

[Selena]

Ну как бы интуитивно я догадываюсь  , что так как значения получены приблизительно одинаковые , (да еще и из рисунка видно,) что в данной точке функцию непрерывна

[tig81]

Именно так, если в точке \( x_0 \): \( f(x_0-0)=f(x_0+0)=f(x_0) \), то функция в этой точке непрерывна.

[Selena]

И так и ответ можно записать, то есть прям так и писать в выражении,что я подставляю 1,1 и 0,99 и какие значения получаю ?

[tig81]

И так и ответ можно записать, то есть прям так и писать в выражении,что я подставляю 1,1 и 0,99 и какие значения получаю ?

Ну правильнее подставлять не 0,9999999; а пишут 1-0+ в данной точке у вас неопределенности нет ,то...

[Selena]

Не чего-т не понимаю я, как лучше то в чистовик писать.

[tig81]

Не чего-т не понимаю я, как лучше то в чистовик писать.

Что именно не понимаете?
\( \lim_{x\to 1-0}\frac{1}{(x-3)^2\cdot x}=\frac{1}{(1-0-3)^2\cdot(1-0)}=\frac{1}{(-2)^2\cdot 1}=\frac{1}{4} \)