Решить систему ЛУ методом Гаусса => найти общее решение?

[Кэс]

В семестровой рассчетной работе задание: Решите систему линейных уравнений методом Гаусса (система прикреплена ниже).
При приведении к треугольному виду получается, что две строки матрицы системы совпадают, и, соответственно, одну из них вычеркиваем. Остается 3 уравнения для 4х неизвестных. Я так понимаю, что нужно находить общее решение для неоднородной системы (общее решение для однородной + частное решение)? Система совместна, неопределена, k=n-r=4-3=1.
Если да, то хотя бы подскажите, какие ответы - я весь мозг сломала, нахожу общее решение - с проверкой не сходится. Я нахожу все это дело через ФСР => общее решение для однородной=> частное решение.
я надеюсь, вы поймете весь мой бред) заранее прошу прощения за, может быть, некоторую путаницу или неясность - у меня по этой теме была только одна лекция и один семинар, причем их ведут разные преподаватели и материалы лекции как-то не совсем совпадают с тем, что мы делали на семинаре. Печаль в том, что 31 марта мне уже надо сдать решение, а я сама никак не могу разобраться, что же нужно делать.

[tig81]

В семестровой рассчетной работе задание: Решите систему линейных уравнений методом Гаусса (система прикреплена ниже).
При приведении к треугольному виду получается, что две строки матрицы системы совпадают, и, соответственно, одну из них вычеркиваем. Остается 3 уравнения для 4х неизвестных. Я так понимаю, что нужно находить общее решение для неоднородной системы (общее решение для однородной + частное решение)? Система совместна, неопределена, k=n-r=4-3=1.
Если да, то хотя бы подскажите, какие ответы - я весь мозг сломала, нахожу общее решение - с проверкой не сходится. Я нахожу все это дело через ФСР => общее решение для однородной=> частное решение.
я надеюсь, вы поймете весь мой бред) заранее прошу прощения за, может быть, некоторую путаницу или неясность - у меня по этой теме была только одна лекция и один семинар, причем их ведут разные преподаватели и материалы лекции как-то не совсем совпадают с тем, что мы делали на семинаре. Печаль в том, что 31 марта мне уже надо сдать решение, а я сама никак не могу разобраться, что же нужно делать.

\
1. Показывайте решение.
2. Рациональнее будет не искать решение однородной, а сразу находить решение неоднородной. Т.е. записываете расширенную матрицу и приводите ее к ступенчатому виду.

[Кэс]

мне сложновато будет представить мои записи в печатном виде 
ну, в общем, привожу я расширенную матрицу к треугольному виду. получается
1 -3  2    3| 1
0  5 -3 -10|-2
0  0  2 -25|-7

система совместная неопределенная, кол-во векторов в ФСР k=1
Базисные - х₁, х₂, х₃, свободный - х₄
Выражаю базисные: х₁=3х₂ - 2х₃ - 3х₄
                             х₂=0,6х₃ + 2х₄
                             х₃=12,5х₄
составляю ФСР  х₁   х₂   х₃  х₄
                  F₁  0,5 9,5 12,5 1
F_оо=С₁*F₁
F_частн=13,1
           1,7
          -3,5
            0
F_но=13,6
       11,2
       9
       1
(надеюсь, отобразится корректно, таблицу тяжко вставлять   )

[tig81]

мне сложновато будет представить мои записи в печатном виде 

1. Лучше отсканируйте/сфотографируйте решение либо наберите в ТеХе (поиск по форуму скажет, что это). Т.к. конечный ответ проверить сложно.
2. Понятие ФСР введено для однородной СЛАУ, у вас неоднородная. Поэтому ФСР не имеет в данном  случае смысла.

х₁=3х₂ - 2х₃ - 3х₄
                             х₂=0,6х₃ + 2х₄
                             х₃=12,5х₄

Если еще добавить  к этому х4=х4, то получаете общее решение системы.

Судя по условию, про частное не спрашивается?! Если и его надо найти, то придавая переменной х4 произвольные значения, вы будете находить различные частные решения.

[Кэс]

ни сканера, ни фотоаппарата нет) ТеХ мне еще осваивать надо
в том и дело, что на семинаре мы решали так, как я показала тут: через ФСР для нахождения векторов, чтобы составить общее для неоднородной. потом находили частное решение (из той системы, где я выражала базисные, только еще со свободными челнами из правой части системы) прибавляли общее для однородной к нему и получали общее для неоднородной. в данной системе есть конкретный ответ,как я понимаю, зависит от того, какое значение С₁ и х₄ при нахождении частного я выберу. они - произвольные, а первые три икса надо найти. вроде так

в общем) мне нужно решить систему уравнений методом Гаусса. это исходное и единственное задание.  обычно это подразумевало приведение к треугольному виду, и если бы данная система приводилась бы как все нормальные системы (имела бы ранг 4),мы получали х₄ и через него выражали все остальные. в данной системе через приведение к треугольному виду иксы найти не удается, т.к. неизвестных больше количества уравнений, вот я и спрашиваю, что делать дальше.

[tig81]

в общем) мне нужно решить систему уравнений методом Гаусса. это исходное и единственное задание. 

Хорошо.

обычно это подразумевало приведение к треугольному виду,

Это не обычно, это всегда так.

и если бы данная система приводилась бы как все нормальные системы (имела бы ранг 4),мы получали х₄ и через него выражали все остальные.

Вот тут вы как раз заблуждаетесь. Если бы количество неизвестных совпадало бы с рангом матрицы, то тогда бы вы делали вывод, что система имеет единственное решение и тогда бы вы одни переменные не выражали бы через другие, а сразу бы записали численные значения.

в данной системе через приведение к треугольному виду иксы найти не удается, т.к. неизвестных больше количества уравнений,

Вот здесь вы как раз и выражаете одни переменные через другие.

иксы найти не удается

х₁=3х₂ - 2х₃ - 3х₄
х₂=0,6х₃ + 2х₄
х₃=12,5х₄

Простите, а это тогда что, если не "найденные иксы"?

вот я и спрашиваю, что делать дальше.

А что делать дальше?! Вы вроде все сделали. (Если конечно поверить, что матрицу к ступенчатому виду вы привели правильно).
Т.е. алгоритм действий таков:
1. Записывается расширенная матрица системы
2. Матрица, полученная в пункте 1, приводится к ступенчатому виду.
3. Определяется ранг матрицы r и подсчитывается число неизвестных n. Если r=n, то система имеет единственное решение и двигаясь снизу вверх выписывается решение системы. Иначе, определяется число независимых переменных: n-r, выбираются независимые переменные и через них выражаются оставшиеся, также двигаясь снизу вверх в полученной расширенной ступенчатой матрице.

[Кэс]

Вот тут вы как раз заблуждаетесь. Если бы количество неизвестных совпадало бы с рангом матрицы, то тогда бы вы делали вывод, что система имеет единственное решение и тогда бы вы одни переменные не выражали бы через другие, а сразу бы записали численные значения.

а, я это и имела в виду - что когда раньше решала методом Гаусса, то получалось единственное решение, а с такой ситуацией сталкиваюсь первый раз.

Простите, а это тогда что, если не "найденные иксы"?

эээ то есть так и должно остаться?) а х₄ чему равен и вообще, как записать ответ?
и, если это и есть решение, то главный шок дня - ЧТО же тогда мы делали на семинаре? О___о

[tig81]

а, я это и имела в виду - что когда раньше решала методом Гаусса, то получалось единственное решение, а с такой ситуацией сталкиваюсь первый раз.

А...вот оно что ясно. В данном случае система неопределенная, т.е. имеет бесконечно много решений.

эээ то есть так и должно остаться?)

То, что вы записали, это общее решение.

а х₄ чему равен

Любому числу.

и вообще, как записать ответ?

Общее решение - это система, которую вы получили. Только с поправкой, переменная х3 у вас выражается через х4, везде замените ее на это выражение. Аналогично, и переменную х2 можно выразить только через х4, также выражаете и переменную х1. Т.е. все переменные выражаете через одну. Затем для нахождения частного решения х4 придаете любое значение и находите значения остальных переменных.

и, если это и есть решение, то главный шок дня - ЧТО же тогда мы делали на семинаре?

Сложно сказать, с подругой болтали?
Ну а если серьезно, просто у вас попадались определенные системы, которые имеют единственное решение.

[Кэс]

ааа, ну если так - тогда вообще классно, выразить - без проблем. а в ответе надо писать общее решение или какое-нибудь частное?
на семинаре мы делали то, что я продемонстрировала в своем решении) вот то, как я решала - это что О__о

[tig81]

ааа, ну если так - тогда вообще классно, выразить - без проблем. а в ответе надо писать общее решение или какое-нибудь частное?

Все зависит от того, как задание звучит. Судя из того, что просто решить методом Гаусса, то общего должно быть достаточно.

на семинаре мы делали то, что я продемонстрировала в своем решении)

Ну все правильно вы делали, просто у вас в результате получилось, что ранг матрицы меньше количества неизвестных и тут началось то, чего вы на семинаре не делали.

[Кэс]

вот мы на семинаре делали через ФСР, общее для определенной, частное и общее для неопределенной.
такую мы решали на семинаре, требовалось найти общее решение для неоднородной:
1  2 -4  |1
3  5 -11|3
3  4 -10|3
привели, получили
1  2 -4|1
0 -1  1|0
тоже совместная неопределенная, k=1 и понеслась - алгоритм как в моем решении

[tig81]

вот мы на семинаре делали через ФСР, общее для определенной,

для определенной или однородной?

частное и общее для неопределенной.

неоднородной?

такую мы решали на семинаре, требовалось найти общее решение для неоднородной:
1  2 -4  |1
3  5 -11|3
3  4 -10|3
привели, получили
1  2 -4|1
0 -1  1|0

Ну все как и у вас, чего вы говорите, что первый раз видите?

тоже совместная неопределенная, k=1 и понеслась - алгоритм как в моем решении

Ну алгоритм не совсем уловила ну да ладно.

[Кэс]

о боги
уже путаюсь в словах, надо завязывать на сегодня с математикой и спать идти, видимо
общее для однородной, частное и общее для неоднородной, да.
систему, у которой несколько решений - не первый, просто формулировки задания меня спутали - разные же, "решить методом Гаусса" и "найти общее решение" :[
а иксы выражать в системе, которая включает свободные члены из правой части системы, или которая нет?

[tig81]

просто формулировки задания меня спутали - разные же, "решить методом Гаусса" и "найти общее решение" :[

Формулировки разные, а суть одна.

а иксы выражать в системе, которая включает свободные члены из правой части системы, или которая нет?

А про это поподробнее. Что за системы?
х выражать из системы, которая записана на основании ступенчатой матрицы, двигаясь от последнего уравнения вверх к первому.

[Кэс]

система же вида
1 -3  2    3| 1
0  5 -3 -10|-2
0  0  2 -25|-7
а иксы, которые вы назвали найденными, у меня выражены для однородной системы, свободные значения из правой части все=0
х₁=3х₂ - 2х₃ - 3х₄
х₂=0,6х₃ + 2х₄
х₃=12,5х₄
(так по семинарскому алгоритму)
это правильно или должно быть
х₁=1+3х₂ - 2х₃ - 3х₄
х₂=-0,4+0,6х₃ + 2х₄
х₃=-3,5+12,5х₄
?
прошу прощения, что прерываю нашу беседу, проходящую практически в режиме он-лайн, но у меня уже 4й час ночи и нужно бы поспать) спасибо огромное Вам! завтра, надеюсь, все станет окончательно ясно