Комплексные числа

[sir. Andrey]

Добрый день.
Помогите пожалуйста с примерчиком.
\( (e^x+e^{-x})\cos{(y)}+i((e^x-e^{-x})\sin{(y)})+iC \)
где
\( C=const \)

Надо преобразовать это выражение, что бы оно зависело от одной переменной и не содержало \( i \)
Я дошел только до этого:
\( 2\cos{i(z_{sopr})}+iC \)
где
\( z=x+iy \)
\( z_{sopr}=x-iy \)

[tig81]

А как условие в оригинале звучит? Восстанавливаете функцию по известной действительной/мнимой часте?

[ELEK1984]

\( (e^x+e^{-x})\cos{(y)}+i((e^x-e^{-x})\sin{(y)})+iC=(e^x\cos y + ie^x \sin y)+(e^{-x} \cos y - ie^{-x} \sin y)+ic=z-z+ic=ic \)
Если я правильно понял задание, то вроде так!

[sir. Andrey]

А как условие в оригинале звучит? Восстанавливаете функцию по известной действительной/мнимой часте?

Прямо в точку  
По действительной
\( U=\frac{e^{2x}+1}{e^x}\cos{(y)} \)
\( f(0)=2 \)

[sir. Andrey]

\( (e^x+e^{-x})\cos{(y)}+i((e^x-e^{-x})\sin{(y)})+iC=(e^x\cos y + ie^x \sin y)+(e^{-x} \cos y - ie^{-x} \sin y)+ic=z-z+ic=ic \)
Если я правильно понял задание, то вроде так!

Что бы в ответе \(  i \) не было!

[ELEK1984]

Если восстановить, то где условие ?
Ну f(0)=2, следовательно с=0

[tig81]

Что бы в ответе \(  i \) не было!

А почему в ответе не должно быть i?
Как связаны тригонометрические функции с гиперболическими?

[tig81]

\( z_{sopr}=x-iy \)

\( z_{sopr}=\bar{z} \)

[sir. Andrey]

Что бы в ответе \(  i \) не было!

А почему в ответе не должно быть i?
Как связаны тригонометрические функции с гиперболическими?

\(  ch(\phi)=\cos{(i\phi)}=\frac{e^{-\phi}+e^{\phi}}{2} \)
\( sh(\phi)=\sin{(i\phi)}=\frac{e^{-\phi}-e^{\phi}}{2} \)
Как то так, на счет синуса не уверен

[tig81]

\(  ch(\phi)=\cos{(i\phi)}=\frac{e^{-\phi}+e^{\phi}}{2} \)
\( sh(\phi)=\sin{(i\phi)}=\frac{e^{-\phi}-e^{\phi}}{2} \)
Как то так, на счет синуса не уверен

Вместо косинуса подставляйте гиперболический косинус: КЛАЦ

А так, если хотите проверку, показывайте полное решение.
\( i \) может оставаться.

[sir. Andrey]

\(  ch(\phi)=\cos{(i\phi)}=\frac{e^{-\phi}+e^{\phi}}{2} \)
\( sh(\phi)=\sin{(i\phi)}=\frac{e^{-\phi}-e^{\phi}}{2} \)
Как то так, на счет синуса не уверен

Вместо косинуса подставляйте гиперболический косинус: КЛАЦ

А так, если хотите проверку, показывайте полное решение.
\( i \) может оставаться.

ОК!
Сейчас напишу!

[sir. Andrey]

Восстановить голоморфную в окрестности точки \( z_0 \) функцию \( f(z) \) по известной действительной части \( U=\frac{e^{2x}+1}{e^x}\cos{(y)} \) и начальному значению \( f(0)=2 \).

\( \frac{ \partial U}{ \partial x}=(e^x-e^{-x})\cos{y} \)
\( \frac{ \partial U}{ \partial y}=-(e^x+e^{-x})\sin{y} \)

\( \frac{ \partial^2 U}{ \partial x^2}=(e^x+e^{-x})\cos{y} \)
\( \frac{ \partial^2 U}{ \partial y^2}=-(e^x+e^{-x})\cos{y} \)

\( \frac{ \partial^2 U}{ \partial x^2}+\frac{ \partial^2 U}{ \partial y^2}=0 \)

\( \frac{ \partial U}{\partial x}=\frac{\partial \upsilon }{\partial y} \)
\( \frac{ \partial U}{\partial y}=-\frac{\partial \upsilon }{\partial x} \)

система:
\( \frac{ \partial \upsilon}{ \partial y}=(e^x-e^{-x})\cos{y} \)
\( \frac{ \partial \upsilon}{ \partial x}=(e^x+e^{-x})\sin{y} \)

\( \upsilon(x,y)=(e^x-e^{-x})\int{\cos{y}}dy=(e^x-e^{-x})\sin{y}+\phi(x) \)
\( \frac{ \partial \upsilon}{ \partial x}=(e^x+e^{-x})\sin{y}+\phi'(x) \)

\( \phi'(x)=0  \Rightarrow \phi(x)=C \)
\( \upsilon(x,y)=(e^x-e^{-x})\sin{y}+C \)

\( f(x,y)=U(x,y)+i \upsilon (x,y)=\frac{e^{2x}+1}{e^x}\cos{(y)}+i((e^x-e^{-x})\sin{y}+C) \)
Ну и последнее выражение надо преобразовать!

[tig81]

\( f(x,y)=U(x,y)+i \upsilon (x,y)=\frac{e^{2x}+1}{e^x}\cos{(y)}+i((e^x-e^{-x})\sin{y}+C) \)
Ну и последнее выражение надо преобразовать!

Вроде все верно. Да, надо преобразовывать. Экспоненты расписать, наверное, лучше по формулам Эйлера

[sir. Andrey]

\( f(x,y)=U(x,y)+i \upsilon (x,y)=\frac{e^{2x}+1}{e^x}\cos{(y)}+i((e^x-e^{-x})\sin{y}+C) \)
Ну и последнее выражение надо преобразовать!

Вроде все верно. Да, надо преобразовывать. Экспоненты расписать, наверное, лучше по формулам Эйлера

Ну вот продолжение:
\( \cos{ix}\cos{y}-i\sin{ix}\sin{y}+iC=ch(x)\cos{y}+sh(x)\sin{y}+iC \)
А что дальше делать?

[Nataniel]

[tex]\cos{ix}\cos{y}-i\sin{ix}\sin{y}+iC

свернуть формулу