Найти общее решение диф.уравнения

[bocha86]

\( {y}^{iv}-3y'''+3y''-y'=2x \)

[ELEK1984]

Это линейное дифференциальное уравнение 4 порядка.
1) найти общее решение однородного уравнения;
2) найти частное решение.
Записать ответ ОР+ЧР
Вот ссылка на теорию ссылка

[renuar911]

Такое вот  решение:

\( {\it y}={\it C_1}\,{e^{x}} \left( {x}^{2}-2\,x+2 \right) +{\it C_2}\,{e^{x}} \left( x-1 \right) +{\it C_3}\,{e^{x}}+{\it C_4}-x \left( x+6
 \right) \)

[bocha86]

Такое вот  решение:

\( {\it y}={\it C_1}\,{e^{x}} \left( {x}^{2}-2\,x+2 \right) +{\it C_2}\,{e^{x}} \left( x-1 \right) +{\it C_3}\,{e^{x}}+{\it C_4}-x \left( x+6
 \right) \)

можно все по шагово объяснить мне как, получился такой ответ?
Как я поняла n=4, k=1
\( z=y'\rightarrow z'''-3z''+3z'-z=2x \) привела к такому виду, а как дальше пошагово делать?

[Данила]

1. решаем однородное, то есть вместо 2х пишем 0
решается характерестическим уравнением

\( \lambda^4-3\lambda^3+3\lambda^2-\lambda=0 \)
\( \lambda_1=0;\lambda_{2,3,4}=1 \)
получаем что 1 корень кратности 3. тогда общее решение
\( y_{*}=c_{1}e^{x}+c_{2}xe^{x}+c_{3}x^{2}e^{x}+c_4 \)

2. далее придется воспользоваться методом вариации произвольной постоянной видимо. решить систему из 4ех уравнений.

[tig81]

2. далее придется воспользоваться методом вариации произвольной постоянной видимо. решить систему из 4ех уравнений.

А по виду правой части решить не проще будет?

[Данила]

хм,и правда)

[tig81]

хм,и правда)

[bocha86]

\( x(Ax+B)=A{x}^{2}+Bx\Rightarrow y'=2Ax+B \)
\( y''=2A \)
\( y'''=0 \)
\( {y}^{IV}=0\Rightarrow  \)
\( 3\left(2A \right)-\left(2Ax+B \right)=2x
6A-2Ax-B=2x
A=-1, B=6 \)
\( y \)чн\( =-x+6 \)
\( y \)об\( =C1{e}_{x}+C2x{e}^{x}+C3{x}_{2}{e}^{x}+C4-x+6 \)
все что поняла сделала, но не уверена что правильно. Праверьте пожалуйста

[tig81]

\( x(Ax+B)=A{x}^{2}+Bx\Rightarrow y'=2Ax+B \)
\( y''=2A \)
\( y'''=0 \)
\( {y}^{IV}=0\Rightarrow  \)
\( 3\left(2A \right)-\left(2Ax+B \right)=2x
6A-2Ax-B=2x
A=-1, B=6 \)

Тут запись несильно поняла, наверное, знаки препинания пропущены.

\( y \)об\( =C1{e}_{x}+C2x{e}^{x}+C3{x}_{2}{e}^{x}+C4-x+6 \)

частное решение изначально немного в другом виде искали. Сравните

Такое вот  решение:

\( {\it y}={\it C_1}\,{e^{x}} \left( {x}^{2}-2\,x+2 \right) +{\it C_2}\,{e^{x}} \left( x-1 \right) +{\it C_3}\,{e^{x}}+{\it C_4}-x \left( x+6
 \right) \)

[bocha86]

\( {\it y}={\it C_1}\,{e^{x}} \left( {x}^{2}-2\,x+2 \right) +{\it C_2}\,{e^{x}} \left( x-1 \right) +{\it C_3}\,{e^{x}}+{\it C_4}-x \left( x+6
 \right) \)

Я вот и не знаю как к такому пришли

[bocha86]

\( y \)об\( =C1{e}_{x}+C2x{e}^{x}+C3{x}_{2}{e}^{x}+C4-x+6 \)

\( y \)об\( ={C}_{1}{e}^{x}+{C}_{2}x{e}^{x}+{C}_{3}{x}^{2}{e}^{x}+{C}_{4}-{x}^{2}+6x \) исправила немного

[tig81]

Коэффициент В вроде должен равняться -6.

[bocha86]

ага, нашла у себя эту ошибку

[tig81]

Замечательно!