Система с тригонометрией, логарифмом и параметром

[Matisss]

2.87. Найти все значения параметра \( b \), при которых система
\( \left\{\begin{aligned}\cos(y-b)-2\cos x=0, \\\log_2(by-y^2)=2\log_4(-x)-\log_{\frac{1}{2}}3y \\\end{aligned}\right. \)
имеет нечетное число решений.

Дошел до того, что нашел \( x \):
\( x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n=-1,-2,-3,... . \)
\( y=3x+b. \)
Дальше тупик.
Подскажите к чему надо идти, а то я не понимаю сути задачи!

[renuar911]

Если в первое уравнение

\( \cos(y-b)-2\cos(x)=0  \)

подставить второе (а я его проверил - оно у Вас верное):

\( y=b+3x \)

то будем иметь

\( cos(3x)=2cos(x) \)

и решение:

\( x=\frac{\pi}{2}(4n-1) \)

То есть от величины b решение не зависит, число решений бесконечно и о четности-нечетности говорить нет смысла..

[Matisss]

То есть от величины b решение не зависит,

Позвольте возразить: от величины b зависит ОДЗ нашей системы, в частности
y(b-y)>0
Если подставить в это неравенство y=3x+b, то получим
3x(3x+b)<0.
Так как x<0 (также в ОДЗ), то 3x+b>0, x>-b/3.
Значит найденные нами значения x должны входить в промежуток (-b/3;0). А вот уже с этим промежутком придется работать.

[renuar911]

Да, это верно. Тогда задача сводится к анализу числа решений, входящих в интервал:

\( -\frac{b}{3}<\frac{\pi}{2}(4n-1)<0 \)