Предел последовательности

[lenar]

Число a называется пределом последовательности {x_n}, если для каждого ε > 0 существует такой номер N_ε, что для всех n ≥ Nε выполняется неравенство |x_n – a| < ε,

кто нибудь может объяснить по руский это правило
и что в данном премере за символ "ε"

[Nataniel]

Начиная с некоторого номера N разность между пределом и N-ным членом последовательности будет меньше наперед заданного маленького числа e
Для каждого номера N - маленькое число е свое, поэтому его обозначают N_e, что бы показать что N - функция от e: N(e)

[Данила]

это радиус окрестности точки а.

другое определение,возможно более понятное.
а называется пределом последовательности а_n , если любая окрестность числа а содержит члены этой последовательности. под окрестностью точки а будем понимать интервал радиуса эпсилон.

[ELEK1984]

Какую бы вы эпсилон окрестность не взяли точки а  всегда найдется такой номер члена последовательности, начиная с которого все последующие будут попадать внутрь данной окрестности.
Иначе если а предел последовательности, то в любой окрестности точки а будет бесконечное число членов данной последовательности=)

[lenar]

это радиус окрестности точки а.

другое определение,возможно более понятное.
а называется пределом последовательности а_n , если любая окрестность числа а содержит члены этой последовательности. под окрестностью точки а будем понимать интервал радиуса эпсилон.

"а содержит члены этой последовательности" это как
тоесть если есть одинаковые челены то это и есть предел последовательности НАПРИМЕР: Пусть  x_n=(-1)ⁿ, или что то же {-1, 1, -1, 1....} это есть Предел последовательности?

прошу меня извенить если кого достал матем это тяжело

[tig81]

НАПРИМЕР: Пусть  x_n=(-1)ⁿ, или что то же {-1, 1, -1, 1....} это есть Предел последовательности?

Где именно предел? Предел - это число. У вас числа нет.

П.С. Данная последовательность предела не имеет.

[lenar]

НАПРИМЕР: Пусть  x_n=(-1)ⁿ, или что то же {-1, 1, -1, 1....} это есть Предел последовательности?

Где именно предел? Предел - это число. У вас числа нет.

П.С. Данная последовательность предела не имеет.

упс значит не догнал...
может так
{-1, 0, 1...} 0 это придел?

[Nataniel]

может так
{-1, 0, 1...}

не совсем, последовательность {..., -1, 1, -1, 1, ...}

0 это придел?

нет, это не предел, возьмите e=0.5 и в отрезок (0-e, 0+e) не попадет ни одного значения.

Кстати, эта последовательнсть вообще не имеет предела.

А вот последовательность (-1)^n*(1/n)    {-1, 1/2, -1/3, 1/4, ...} имеет предел равный нулю:
Возьмем e и найдем N
|a_N|<e => |(-1)^N*(1/N)|=1/N<e => при N>1/e неравенстро выполняется при свех N_e=[1/e], значит ноль действительно предел последовательности, ведь
для любого e существует N_e=[1/e] при всех N>N_e выполняется неравенство |0-a_N|<e

[lenar]

может так
{-1, 0, 1...}

не совсем, последовательность {..., -1, 1, -1, 1, ...}

0 это придел?

нет, это не предел, возьмите e=0.5 и в отрезок (0-e, 0+e) не попадет ни одного значения.

Кстати, эта последовательнсть вообще не имеет предела.

А вот последовательность (-1)^n*(1/n)    {-1, 1/2, -1/3, 1/4, ...} имеет предел равный нулю:
Возьмем e и найдем N
|a_N|<e => |(-1)^N*(1/N)|=1/N<e => при N>1/e неравенстро выполняется при свех N_e=[1/e], значит ноль действительно предел последовательности, ведь
для любого e существует N_e=[1/e] при всех N>N_e выполняется неравенство |0-a_N|<e

мда тупой я....
что означают кванторы N,  e

[Nataniel]

что означают кванторы N,  e

Это не кванторы. N - некоторое натуральное число, е - некоторое малое число.
О значении предела, на мой взгляд, нужно сначала догадаться а потом мптемптически его доказать(если доказать нужно по определению).
План док-ва:
1. взять произвольное е
2. решить неравенство |A-a_N|<e, где А - предел, a_N - N-й член последовательности , относительно N
3. Если получаем неравенство типа N>число, то значит мы не ошиблись с пределом

[lenar]

что означают кванторы N,  e

Это не кванторы. N - некоторое натуральное число, е - некоторое малое число.
О значении предела, на мой взгляд, нужно сначала догадаться а потом мптемптически его доказать(если доказать нужно по определению).
План док-ва:
1. взять произвольное е
2. решить неравенство |A-a_N|<e, где А - предел, a_N - N-й член последовательности , относительно N
3. Если получаем неравенство типа N>число, то значит мы не ошиблись с пределом

некоторое натуральное число оно откуда выходит? с неба?

[Nataniel]

Это натуральное число - зависит от е. А е в свою очередб берут любое. т.е. для е=1/2 получаем одно N, при е=1/25 - другое

[lenar]

Это натуральное число - зависит от е. А е в свою очередб берут любое. т.е. для е=1/2 получаем одно N, при е=1/25 - другое

а как вычислить N
ну например е=1 или еще е=5

[Nataniel]

Вым это не нужно.
Вам просто нужно показать что ДЛЯ ЛЮБОГО е всегда ныйдется номер N начиная с которого будет выполняться неравенство |A-a_n|<e.
А если все-таки нужно, то решите неравенство относительно N

[lenar]

может так
{-1, 0, 1...}

не совсем, последовательность {..., -1, 1, -1, 1, ...}

0 это придел?

нет, это не предел, возьмите e=0.5 и в отрезок (0-e, 0+e) не попадет ни одного значения.

Кстати, эта последовательнсть вообще не имеет предела.

А вот последовательность (-1)^n*(1/n)    {-1, 1/2, -1/3, 1/4, ...} имеет предел равный нулю:
Возьмем e и найдем N
|a_N|<e => |(-1)^N*(1/N)|=1/N<e => при N>1/e неравенстро выполняется при свех N_e=[1/e], значит ноль действительно предел последовательности, ведь
для любого e существует N_e=[1/e] при всех N>N_e выполняется неравенство |0-a_N|<e

почему e взят именно 0,5 почему не 1 и не 2 а именно 0,5
и какая цифра в данном примере есть N