Вычислить определенный интеграл

[bocha86]

\( \int_{-2}^{0}{\left(x+2 \right)}^{2}\cos 3xdx \)

1. \( U={\left(x+2 \right)}^{2};
du=\left{(\left(x+2 \right)}^{2} \right)'dx=2\left(x+2 \right)dx;
dv=\cos 3xdx\Rightarrow \int dv=\int \cos 3xdx\Rightarrow V=\frac{1}{3}\sin 3x \)
2.\( {\left(x+2 \right)}^{2}\cdot \frac{1}{3}\sin 3x-\int \frac{1}{3}\sin 3x\cdot 2\left(x+2 \right)dx \)
 дальше не пойму как

[bocha86]

\( \int_{-2}^{0}{\left(x+2 \right)}^{2}\cos 3xdx \)

1. \( U={\left(x+2 \right)}^{2};
du=\left{(\left(x+2 \right)}^{2} \right)'dx=2\left(x+2 \right)dx;
dv=\cos 3xdx\Rightarrow \int dv=\int \cos 3xdx\Rightarrow V=\frac{1}{3}\sin 3x \)
2.\( {\left(x+2 \right)}^{2}\cdot \frac{1}{3}\sin 3x-\int \frac{1}{3}\sin 3x\cdot 2\left(x+2 \right)dx \)
 дальше не пойму как

\( \int \frac{1}{3}\sin 3x\cdot 2\left(x+2 \right)dx \)
еще раз по частям проинтегрировать?

[tig81]

да, именно так

[bocha86]

\( {\left(x+2 \right)}^{2}\frac{1}{3}\sin 3x+\frac{2}{9}\left(x+2 \right)\cos 3x+\frac{1}{9}\sin 3x+C \)
вот такой у меня интеграл получился.
Когда и по каким законам меняются верхняя и нижняя границы интеграла?

[tig81]

\( {\left(x+2 \right)}^{2}\frac{1}{3}\sin 3x+\frac{2}{9}\left(x+2 \right)\cos 3x+\frac{1}{9}\sin 3x+C \)
вот такой у меня интеграл получился.

Если бы полное решение увидеть, тогда и проверить можно. И у вас же определенный интеграл, а нашли неопределенный.

Когда и по каким законам меняются верхняя и нижняя границы интеграла?

Т.е.? Задайте конкретнее вопрос.

[Данила]

границы не меняются. вы же не переходите к новым переменным

[tig81]

Когда и по каким законам меняются верхняя и нижняя границы интеграла?

1. При переходе к новой переменной.
2. \( \int\limits_a^b{f(x)dx}=-\int\limits_b^a{f(x)dx} \)

[bocha86]

\( \int_{-2}^{0}{\left(x+2 \right)}^{2}\cos 3xdx=\mid U={\left(x+2 \right)}^{2}; du=\left({\left(x+2 \right)}^{2} \right)'dx=2\left(x+2 \right)dx; dv=\cos 3xdx; \int dv=\int \cos 3xdx; \cos 3xdx; V=\frac{1}{3}\sin 3x\mid
={\left(x+2 \right)}^{2}\frac{1}{3}\sin 3x-\frac{2}{3}\int_{?}^{?}\sin 3x\cdot \left(x+2 \right)dx \mid T=\left(x+2 \right); dt=dx; dz=\sin 3xdx; Z=-\frac{1}{3}\cos 3x\mid
{\left(x+2 \right)}^{2}\frac{1}{3}\sin 3x-\frac{2}{3}\left(x+2 \right)\left(-\frac{1}{3}\cos 3x \right)-\int_{?}^{?}\left(-\frac{1}{3}\cos 3x \right)dx={\left(x+2 \right)}^{2}\frac{1}{3}\sin 3x+\frac{2}{9}\left(x+2 \right)\cos 3x+\frac{1}{3}\int_{?}^{?}\cos 3xdx= \)\( {\left(x+2 \right)}^{2}\frac{1}{3}\sin 3x+\frac{2}{9}\left(x+2 \right)\cos 3x+\frac{1}{9}\sin 3x+C \)

[tig81]

Там, где знаки вопроса, пределы интегрирования те же, что и в условии. Только везде их надо подставит и в ответе не будет +С.

[bocha86]

Там, где знаки вопроса, пределы интегрирования те же, что и в условии. Только везде их надо подставит и в ответе не будет +С.

ладно, сейчас остатки решу)))

[tig81]

Метод интегрирования по частям

[bocha86]

\( \frac{4}{9}+\frac{1}{9}\sin\left(-6 \right)  \)
sin(-6)-это как понять и решить

[tig81]

sin(-6)

=-sin6. Так и оставлять.

П.С. У синуса коэффициент другой

[bocha86]

\( \frac{4}{9}+\frac{1}{9}\sin\left(-6 \right)  \)
sin(-6)-это как понять и решить

\( \frac{4}{9}-\frac{1}{9}\sin6   \)
это и можно в ответе написать?

[tig81]

\( \frac{4}{9}-\frac{1}{9}\sin6   \)
это и можно в ответе написать?

Да, но коэффициент не -1/9.