Комплексные числа

[vitalfan]

Даны два числа

\( {z_1} = 3 + i;{z_2} = 1 - 3i \)
Найти нужно
\( \sqrt {{z_1}*{z_2}}  \)
Вот я начал

 \(  \sqrt {(3 + i)(1 - 3i)}  = \sqrt {(3 - 9i + i - 3{i^2}}  = \sqrt {3 - 8i + 3}  = \sqrt {6 - 8i} ... \)
а как дальше не знаю

[tig81]

Дальше смотрите формулу Муавра
Подобные  решенные примеры можно посмотреть здесь

[ELEK1984]

а дальше по формуле извлечения корней \( \sqrt z=\sqrt {|z|}\cdot \left( \cos \left(\frac{\phi +2 \pi k}{2}\right) +i \sin \left(\frac{\phi +2 \pi k}{2}\right) \right)  \), где \( \phi \) - аргумент, \( |z| \) - модуль числа z, \( k=0,1. \)

[vitalfan]

Спасибо попробую посчитать)))

[vitalfan]

Я только ошибся, над z2 сопряжение, у меня получилось:

\( {z_1}*\bar{z}_2 = (3 + i)(1 + 3i) = 3 + i + 9i + 3{i^2} = 10i \)
Нашел модуль |z|=10
Угол будет равен \( \varphi  = \frac{\pi }
{2} \)
получается:

\( \sqrt {10} *i\sin (\frac{{\frac{\pi }
{2} + 2\pi k}}
{2}) = \sqrt {10} *i\sin (\frac{\pi }
{4} + \pi k) \)
проверьте пжл. это и есть ответ?

[tig81]

\( \sqrt {10} *i\sin (\frac{{\frac{\pi }
{2} + 2\pi k}}
{2}) = \sqrt {10} *i\sin (\frac{\pi }
{4} + \pi k) \)

А где слагаемое с косинусом потерялось?

[vitalfan]

А так вроде косинус там же 0 равен.

[tig81]

А так вроде косинус там же 0 равен.

Это когда вы число в тригонометрической форме записываете?

[vitalfan]

А понял значит

\( \sqrt {10} *(\cos (\frac{{\frac{\pi }
{2} + 2\pi k}}
{2}) + i\sin (\frac{{\frac{\pi }
{2} + 2\pi k}}
{2})) = \sqrt {10} *(\cos (\frac{\pi }
{4} + \pi k) + i\sin (\frac{\pi }
{4} + \pi k))
 \)
или как то еще упрощать?

[vitalfan]

А вот еще про комплексную плоскость:
задана неравенствами

\( \left\{ \begin{gathered}
  \frac{\pi }
{4} \leqslant \arg Z \leqslant \frac{\pi }
{2};
  {\left| {z*\bar z} \right|^2} < \operatorname{Im} ({z^2}) \hfill \\
\end{gathered}  \right\} \)
Для первого понятно, для второго я сделал

\( {\left| {z*\bar z} \right|^2} = {z^2} = {(x + iy)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi \)
и знаю что
\( \operatorname{Re} ({z^2}) = {x^2} - {y^2} \)

а как понять Im(z^2)?

[ELEK1984]

\( Im z \) - это мнимая часть комплексного числа, в Вашем случае \( Im z^2=Im[(x+iy)^2]=2xy \), а вот \( |z \cdot \overline{z}|^2=(x^2+y^2)^2 \). Посмотрите внимательнее, внес изменения!

[vitalfan]

про мнимую понял)
тогда у меня получилось:
\( |(x + iy)(x - iy){|^2} < 2xy \)
\(
|{x^2} - {i^2}{y^2}{|^2} < 2xy \),т.к. i^2=-1,то
\( |{x^2} + {y^2}{|^2} < 2xy \)
так и получается?

[ELEK1984]

Посмотрите еще раз мою предыдущую запись, я внес изменения!

[ELEK1984]

Все правильно у вас!

[vitalfan]

А как это неравенство на плоскости показать?