Определенный интеграл

[vitalfan]

Проверьте пжл в чем у меня ошибка.
Вычислить интеграл,сделав соответствующую замену.

\( \begin{gathered}
  \int\limits_3^{29} {\frac{{{{(x - 2)}^{2/3}}}}
{{{{(x - 2)}^{2/3}} + 3}}dx = ||x - 2 = {z^3};x = {z^3} + 2;dx = 3{z^2}} dz;z = \sqrt[3]{{x - 2}};\alpha  = \sqrt[3]{{29 - 2}} = 3;\beta  = \sqrt[3]{{3 - 2}} = 1|| \hfill \\
  \int\limits_1^3 {\frac{{{z^{2/3}}*3{z^2}}}
{{{{({z^3})}^{2/3}} + 3}}} dz = 3\int\limits_1^3 {\frac{{{z^{8/3}}}}
{{{z^2} + 3}} = ?}  \hfill \\
\end{gathered}  \)

[Данила]

после замены подстановку криво сделал.
откуда там степень 2\3 в числителе? при том в знаменателе ок все сделал с той же заменой

[vitalfan]

Оу да точно точно))) тогда будет\(  3\int\limits_1^3 {\frac{{{z^4}}}
{{{z^2} + 3}}}
 \)
А здесь просто поделить числитель на знаменатель и разбить на сумму интегралов?

[Dlacier]

Да.

[vitalfan]

Решил,спасибо)))
А какую подстановку сделать в этом?
\( \int\limits_1^2 {\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}
{x}} dx \)

[renuar911]

Я бы сделал

\( \sqrt{x^2-1}=t \)

[Данила]

\( x^{2}-1=t^2 \)
\( x=\sqrt{t^{2}+1} \)
\( dx=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}} \)
\( \int \frac{t^2 dt}{t^2+1} \)

вроде так... ну а далее в числителе выделяем целую часть и решаем. да,границы не забудь поменять

[vitalfan]

Да все правильно получилось, спасибо)))

[vitalfan]

А вот этот?
\( \int\limits_0^\infty  {{e^{ - ax}}} \sin bxdx(a > 0) \)
Я думаю нужно делать по частям, только что брать за u(x), а что за dv(x)?

[ELEK1984]

Абсолютно равноценно! Возьмите за \( u \), например, \( \sin(bx) \).

[renuar911]

Удивительно, но этот казалось бы сложный интеграл при a>0 оказался равным

\( \frac{b}{a^2+b^2} \)

Интересно - верно ли это?

[ELEK1984]

У меня тоже так получилось 

[vitalfan]

Да все  правильно так и должно было получиться)))