Иследовать функцию средствами дифференциального исчисления

[Kentyara4]

\( y=e^{\frac{\ 1}{\ 5+x} \)  что то не пойму как её иследовать...
единственное что есть - это область определения x не равен -5, точка пересечения с OY и горизонтальная асимптота y=1...
но ни экстремумов, ни симетричности, ни перегибов вроде нет у неё...

[tig81]

А интервалы возрастания/убывания; выпуклости/вогнутости?

[renuar911]

Что-то Вы неуважительно к своей фукции. Она очень интересная своими особыми точками и асимптотами. Их надо просто уметь увидеть:

[Kentyara4]

хм...
но вроде на интервале от -5 до + \infty выполняется что Y''= +, это не значит что функция Y должна возрастать?
асобые точки я видимо не умею видеть)
а как иследовать на выпуклость?
и как получилась асимптота?

[Kentyara4]

ааа...
асимтоты две: вертикальная x = -5? т к функция не определена, и горизонтальная y=0... т к при x \( \to \infty  \) y=0 ??

[renuar911]

Предел фукции при x плюс-минус бесконечости равен единице. Отсюда и горизонтальная асимптота.
А особые точки - точка перегиба (где-то в районе х=-5,5), нулевой предел при х=-5 слева... Все это и нужо исследовать.

[Dlacier]

но вроде на интервале от -5 до + \infty выполняется что Y''= +, это не значит что функция Y должна возрастать?
...
а как иследовать на выпуклость?
...

Промежутки возрастания/убывания находятся с помощью первой производной. Вы как находили?
Направление выпуклости - через вторую производную.

[Kentyara4]

не пойму(
(-5.5 ; 0.14)  - это точка перегиба... почему на представленном графике она не показанна...

[Dlacier]

Что такое точка перегиба? Это точка в которой функция изменяет напраление выпуклости, а из предложенного графика видно, что до \( x=-\frac{11}{2} \), функция выпукла вверх, а после этой точки - выпукла вниз.
Это вы и сами должны были получить, если исследовали знак второй производной.

[Kentyara4]

ага... ну это иследовал... а после  x=-5? тоже здесь же? Y''= + => выпукла вниз?

[Dlacier]

а после  x=-5? тоже здесь же?

Вопрос непонятен.

Y''= + => выпукла вниз?

По определению, если \( f^\prime^\prime (x)>0 \) на \( (a,b) \), то \( f(x) \) выпукла вниз на этом промежутке.
Поэтому, да.

[Kentyara4]

т.е. всё...
нашёл область определения, точку перегиба, впуклости выпуклости, две асимптоты, убывание возрастание, пересечение с OY... и строим?

[Dlacier]

Да.

[Kentyara4]

ужасная функция.
всем спасибо)

[Dlacier]

Пожалуйста.)