Область сходимости ряда

[Kentyara4]

чё то туплю с пределом при нахождении радиуса сходимости ряда: ''ЗНАК СУММЫ'' \( _{n=\infty}^{0} \frac{\ 7^n x^n}{\ 5^n \sqrt[3]{2n+1}} \)
\( r=\frac{\ 5}{\ 7} \lim_{n\to \infty} \frac {\ \sqrt [3]{2n+3}}{\ \sqrt [3]{2n+1}} \)

чему равен предел....?

P.S. как ставить знак суммы?

[tig81]

\( r=\frac{\ 5}{\ 7} \lim_{n\to \infty} \frac {\ \sqrt [3]{2n+3}}{\ \sqrt [3]{2n+1}} \)

Как радиус находили, по какой формуле?

P.S. как ставить знак суммы?

\sum_{n=0}^{\infty}
\( \sum_{n=0}^{\infty} \)

[Kentyara4]

по формуле \( r= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\ a_n}{\ a_{n+1}}\right) \)
a - коэффициент при X

[tig81]

по формуле \( r= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\ a_n}{\ a_{n+1}}\right) \)
a - коэффициент при X

Далее используете то факт, что \( \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{\frac{a}b{}} \), а также \( \lim_{x\to a}{\sqrt[3]{f(x)}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to a}{f(x)}} \)

[Kentyara4]

\( r= \frac{\ 5 \sqrt[3]{3}}{\ 7} \) ?

[tig81]

\( r= \frac{\ 5 \sqrt[3]{3}}{\ 7} \) ?

Показывайте, как такое получили.

[Kentyara4]

\( r=\lim_{n \to \infty} \frac{\ 7^n 5^{n+1} \sqrt[3]{2n + 3}}{\ 7^{n+1} 5^n \sqrt[3]{2n + 1}} \) = \( \frac{\ 5}{\ 7} \lim_{n \to \infty} \frac{\ \sqrt[3]{2n + 3}}{\ \sqrt[3]{2n + 1}} \) = \( \frac{\ 5}{\ 7} \) \( \sqrt[3]{\lim_{n \to \infty} \frac{\ 2n+3}{\ 2n+1}} \)
вот...а дальше я что то не уверен((

[Dlacier]

\( \frac{\ 5}{\ 7} \sqrt[3]{\lim_{n \to \infty} \frac{\ 2n+3}{\ 2n+1}}=\frac{\ 5}{\ 7} \sqrt[3]{\lim_{n \to \infty} \frac{\ 2+\frac{3}{n}}{\ 2+\frac{1}{n}}}= \)


P.S. Если формула не прерывается русской речью, нет необходимости прерывать тег [tex] [/ tex]

[tex ]r=\lim_{n \to \infty} \frac{7^n 5^{n+1} \sqrt[3]{2n + 3}}{7^{n+1} 5^n \sqrt[3]{2n + 1}}[ /tex] = [ tex]\frac{5}{7} \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{2n + 3}}{\sqrt[3]{2n + 1}}[ /tex] = [ tex]\frac{5}{7}[ /tex] [ tex]\sqrt[3]{\lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{2n+1}}[ /tex]

достаточно заключить в тег один раз (в начале и в конце формулы). Это так, замечание для удобства.

[Kentyara4]

значит\(  -\frac{\ 5}{\ 7} <x< \frac{\ 5}{\ 7}  \)

\( \sum_{ n = 1 }^{\infty} \frac{\ 7^n (-\frac{\ 5}{\ 7})^n}{\ 5^n \sqrt[3]{ 2n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ -1}{\ \sqrt[3]{2n + 1}} = -\frac{\ 1}{\ \sqrt[3]{3}} - \frac{\ 1}{\ \sqrt[3]{5}} - \frac{\ 1}{\ \sqrt[3]{7}} \)
тогда
\( \lim_{ x \to \infty} \frac{\ -1}{\ \sqrt[3]{2n + 1}} \) равен? чему?

[Kentyara4]

нолю?

[Dlacier]

\( \sum_{ n = 1 }^{\infty} \frac{\ 7^n (-\frac{\ 5}{\ 7})^n}{\ 5^n \sqrt[3]{ 2n+1}} \ne \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ -1}{\ \sqrt[3]{2n + 1}} \)
подумайте.

[Kentyara4]

подумал...ничего не придумал(
почему не равен?

[Dlacier]

Гениально... подумать минут 5, это маловато.)
Придумывать ничего не нужно, нужно аккуратно расписать

\( \sum_{ n = 1 }^{\infty} \frac{7^n (-\frac{5}{7})^n}{ 5^n \sqrt[3]{ 2n+1}} =\sum_{ n = 1 }^{\infty} \frac{7^n (-1)^n\left(\frac{5}{7}\right)^n}{5^n \sqrt[3]{2n+1}}=\ldots \)

[Kentyara4]

мммм...
\( = -\frac{\ 1}{\ \sqrt[3]{3}} + \frac{\ 1}{\ \sqrt[3]{5}} - \frac{\ 1}{\ \sqrt[3]{7}} \)
так а предел
\( \lim_{n \to \infty} \frac{\ 1}{\ \sqrt[3]{2n+1}} \) чему равен??

[Dlacier]

А сами как считаете/вычисляете?