Решение неоднородного дифф. уравнения второго порядка

[sir. Andrey]

Добрый день!
Помогите пожалуйста дорешать дифур!  

\( (2x+1)y''+(4x-2)y'-8y=4(2x+1)^3 \)

\( y''+\frac{4x-2}{2x+1}y'-\frac{8}{2x+1}y=4(2x+1)^2 \)

Для однородного есть решение:\(  \quad  \quad   \quad  \quad   y_1=e^{-2x} \)

\( (\frac{y_2}{e^{-2x}})'=\frac{1}{e^{-4x}}Ce^{\int{\frac{4x-2}{2x+1}dx}}=\frac{Ce^{6x}}{(2x+1)^2} \)

А вот этот интеграл не берется:

\( \int{\frac{Ce^{6x}}{(2x+1)^2}}dx \)

Подскажите пожалуйста как решить!!!  

[Dlacier]

Решение соответствующего однородного уравнения найдено неверно, не хватает слагаемых и константы интегрирования.
Распиши как находишь.

[sir. Andrey]

Решение соответствующего однородного уравнения найдено неверно, не хватает слагаемых и константы интегрирования.
Распиши как находишь.

Имеешь в виду это??

Для однородного есть решение:\(  \quad  \quad   \quad  \quad   y_1=e^{-2x} \)

Это мы сами угадываем!!!
А далее решаем по формуле!!!

[Данила]

расписывай как решал,как вранскиан считал.

я бы тут методом неопределенных коэффицентов делал, предварительно найдя решение однородного через вронскиан

[sir. Andrey]

расписывай как решал,как вранскиан считал.

я бы тут методом неопределенных коэффицентов делал, предварительно найдя решение однородного через вронскиан

Ни какие вронскианы я не считал.  
\( a_1y''+a_2y'+a_3y=0 \)
А третья строка это формула: \( (\frac{y_2}{y_1})'=\frac{1}{y_1^2}Ce^{\int{\frac{a_2}{a_1}}} \)

[Данила]

ну вот тот определитель слева и есть вронскиан) поставляй туда сразу свой корень, зачем в общем виде оно тебе?

[sir. Andrey]

ну вот тот определитель слева и есть вронскиан) поставляй туда сразу свой корень, зачем в общем виде оно тебе?

Я все это проделал в первом посте, а интеграл, который получился не берется!!! 

[renuar911]

Неберущийся интеграл выражается через спецфункцию:

\( \int \frac{e^{6x}}{(2x+1)^2}dx=-\frac{3}{2}\,{\frac {{e^{6\,x}}}{6\,x+3}}-\frac{3}{2}\,{e^{-3}}{\it Ei} \left( 1,-6\,x-3 \right) \)

Хотел разложить в ряд, но не сумел... Хотя есть вариант. Другое представление интеграла:

\( \frac{(6x+3) Ei(6x+3)- exp(6x+3)}{2 e^3 (2x+1)} \)

где

\( Ei(6x+3)={\it Ei} \left( 3 \right) +2\,{e^{3}}x+4\,{e^{3}}{x}^{2}+{\frac {20}{
3}}\,{e^{3}}{x}^{3}+8\,{e^{3}}{x}^{4}+{\frac {44}{5}}\,{e^{3}}{x}^{5}+
{\frac {104}{15}}\,{e^{3}}{x}^{6}+{\frac {232}{35}}\,{e^{3}}{x}^{7}+{
\frac {16}{7}}\,{e^{3}}{x}^{8}+{\frac {1636}{315}}\,{e^{3}}{x}^{9}+O
 \left( {x}^{10} \right)
 \)

[sir. Andrey]

Неберущийся интеграл выражается через спецфункцию:

\( \int \frac{e^{6x}}{(2x+1)^2}dx=-\frac{3}{2}\,{\frac {{e^{6\,x}}}{6\,x+3}}-\frac{3}{2}\,{e^{-3}}{\it Ei} \left( 1,-6\,x-3 \right) \)

Хотел разложить в ряд, но не сумел...

Да я уже в курсе, в интернете загнал, но такое решение не пойдет!!!

[renuar911]

Тогда решить численно и аппроксимировать. Функция определена в очень узком диапазоне

[sir. Andrey]

Тогда решить численно и аппроксимировать.

Последнее слово взорвало мозг!

[renuar911]

А что тут особенного? Тут три ветви, они легко аппроксимируются  степенными зависимостями.
-----------------------------------------------
Я  начал с самого начала и решал Ваше ДУ. Получил так:

\( y=(1+4x^2)C_1+e^{-2x} C_2+6x+8x^2+8x^3 \)

Такое не годится? В этом случае

\( y'=8\,x{\it C_1}-2\,{e^{-2\,x}}{\it C_2}+6+16\,x+24\,{x}^{2} \)

\( y''=8\,{\it C_1}+4\,{e^{-2\,x}}{\it C_2}+16+48\,x \)

И все замечательно соответствует исходному ДУ