Тригонометрические уравнения

[Logain]

\( 1) \large{{sin}^{3}x -cos^{3}x= 1 +\frac{sin2x}{2}} \)

\( \large{{sin}^{3}x -{cos}^{3}x= 1 +\frac{2sinx cosx}{2}} \)

\( \large{{sin}^{3}x -{cos}^{3}x= 1 + sinx cosx} \)

\( \large{(sinx-cosx)({sin}^{2}x+sinxcosx+cos^{2}x) = 1 + sinxcosx} \)

\( \large{(sinx-cosx)(sinxcosx+1) = 1 + {sinxcosx}} \)

\( \large{{sin}^{2}x{cosx} + sinx-{cos}^{2}x sinx-cosx = 1 + {sinxcosx} \)

\( \large{{sin}^{2}xcosx - sinx{cos}^{2}x+sinx-cosx = 1 + {sinxcosx}}. \)
левая часть похожа на sin(α-β). только квадраты мешают.

\( 2)\large{{cos}^{4}x-{sin}^{4}x=\sqrt{3}/2 \)

\( \large{(cosx-sinx)(cosx+sinx)({cos}^{2}x+{sin}^{2}x)=\sqrt{3}/2 \)

а дальше целая апопея:
\( \large{{cos}^{2}x+cosxsinx{cos}^{3}x+{sin}^{2}xcosx-sinxcosx-{sin}^{2}-sinx{cos}^{2}x-{sin}^{3}x \)=\( \sqrt{3}/2}. \)

подскажите, что сделать дальше.

[tig81]

\( 2){cos}^{4}x- \)\( {sin}^{4}x= \)\( \sqrt{3} \)\( /2 \)
\( (cosx-sinx)(cosx+sinx)( \)\( {cos}^{2}x+ \)\( {sin}^{2}x) \)=\( \sqrt{3} \)\( /2 \)
а дальше целая апопея:

В левой части третья скобка - это основное тригонометрическое тождество.
Первые две свернуть назад как разность квадратов и затем вспомнить формулу косинуса двойного угла.

Все тригонометрические формулы и их смысл вы найдете здесь - Тригонометрические формулы

[Dlacier]

\( 1) \large{{sin}^{3}x -cos^{3}x= 1 +\frac{sin2x}{2}} \)

\( \large{{sin}^{3}x -{cos}^{3}x= 1 +\frac{2sinx cosx}{2}} \)

\( \large{{sin}^{3}x -{cos}^{3}x= 1 + sinx cosx} \)

\( \large{(sinx-cosx)({sin}^{2}x+sinxcosx+cos^{2}x) = 1 + sinxcosx} \)

\( \large{(sinx-cosx)(sinxcosx+1) = 1 + {sinxcosx}} \)

\( \large{{sin}^{2}x{cosx} + sinx-{cos}^{2}x sinx-cosx = 1 + {sinxcosx} \)

для чего раскрывать скобки?

\( \large{(\sin x-\cos x)(\sin x \cos x+1) = 1 + \sin x \cos x} \)

\( \large{(\sin x-\cos x-1)(\sin x\cos x+1) = 0} \)

[Logain]

tig81 тогда получается \( cos2x= \)\( \sqrt{3}/2 \)
Dlacier можно поподробнее? непонятно куда делся \( sinxcosx \) и почему так странно перенеслась цифра \( 1 \)

[Dlacier]

\( \large{(\sin x-\cos x)(\sin x \cos x+1) = 1 + \sin x \cos x} \)

\( \large{(\sin x-\cos x)(1+\sin x \cos x) -( 1 + \sin x \cos x)=0} \)

\( \large{(1+\sin x\cos x)(\sin x-\cos x-1) = 0} \)

[Dlacier]

...тогда получается \( cos2x=\sqrt{3}/2 \)...

да.

P.S. Нет необходимости каждое слагаемое уравнения заключать в теги [tex ] [/tex].
Можно просто писать [tex ]\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

[Logain]

\( \large{(\sin x-\cos x)(1+\sin x \cos x) -( 1 + \sin x \cos x)=0} \)
\( \large{(1+\sin x\cos x)(\sin x-\cos x-1) = 0} \)

а к последнему как пришли?

[Dlacier]

\( \large{( 1 + \sin x \cos x)} \) как общий множитель выносится за скобку.

[Logain]

Отлично. Тогда получается
\( \large{(1+\sin x\cos x)(\sin x-\cos x-1) = 0} \)
\( sinxcosx=-1 \)
и
\( sinx-cosx=1 \)
а дальше?

[Dimka1]

Отлично. Тогда получается
\( \large{(1+\sin x\cos x)(\sin x-\cos x-1) = 0} \)
\( sinxcosx=-1 \)
а дальше?

0,5sin2x=-1

Отлично. Тогда получается
\( sinx-cosx=1 \)
а дальше?

sqrt(2)sin(x-Pi/4)=1

[renuar911]

разделим обе части на корень из двух и тогда:

\( x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \)

Следовательно, первое решение:

\( x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n \)

Но есть еще второе решение:

\( x=\pi+2\pi n \)

[Dlacier]

\( \large{(1+\sin x\cos x)(\sin x-\cos x-1) = 0} \)

\( \large{1+\sin x\cos x \ne 0 } \)

\( \large{\sin x-\cos x-1 = 0} \)

\( \large{\sin x=\cos x+1}\quad  pust\quad \sin x >0  \)

\( \large{\sin^2 x=\cos^2 x+2\cos x+1} \)

\( \large{\sin^2 x+\cos^2 x=\cos^2 x+2\cos x+1+\cos^2 x} \)

\( \large{1=2\cos x+1+2\cos^2 x} \)

\( \large{\cos x (1+\cos x)=0} \)

\( \large{\cos x =0} \) или \( \large{1+\cos x=0} \)

и т.д.

[renuar911]

По-моему так проще

\(  sin(x)-cos(x)=1 \)

\( sin(x)-\sqrt{1-sin^2(x)}=1 \)

\( 2 sin(x) [sin(x)-1]=0 \)

\( sin(x)=0 \)

\( sin(x)=1 \)

\( x=\pi n \)

\( x=\frac {\pi}{2}+2\pi n \)

[Dlacier]

По-моему так проще

\(  sin(x)-cos(x)=1 \)

\( sin(x)-\sqrt{1-sin^2(x)}=1 \)

\( 2 sin(x) [sin(x)-1]=0 \)

\( sin(x)=0 \)

\( sin(x)=1 \)

\( x=\pi n \)

\( x=\frac {\pi}{2}+2\pi n \)

Или так.)

[Dimka1]

Чего хоть Вы мудрите с решением школьного ур-я?

sqrt(2)*sin(x-Pi/4)=1

x=[(-1)^n]*Pi/4+Pi*n+Pi/4

n=0, 1, 2, 3, 4, 5
x= Pi/2, Pi, 5*Pi/2, 3Pi, 9Pi/2, 5Pi...

Вообще тригонометрия - это предмет придуман для головной боли