Дифференциальные уравнения, решение неопределенного интеграла

[Arinochka]

Почему тут вычитается \( \frac{1}{y}\frac{1}{\cos x} \)
\( \large{\left(\frac{1}{y}\right)^\prime-\frac{1}{y}\frac{1}{\cos x}=\sin x-1} \)

[Dlacier]

Посмотрите внимательно ответ №68, 1-ую и вторую формулу сверху.

[Arinochka]

Мне там не понятно(((
У меня по другому знаки вышли, посмотрите ответ№17. Там только \( cosx \) везде в знаменатель нужно

[Dlacier]

Заново выпишите. У меня должно быть верно.

[Arinochka]

\( \large{\frac{y}{\cos x}-y^\prime=y^2(1-\sin x) } \)

\( \large{y^\prime -\frac{y}{\cos x}=-y^2(1-\sin x) } \)

\( \large{y^\prime\frac{1}{y^2}-\frac{1}{y\cos x}=-(1-\sin x) } \)

\( \large-{z^\prime-z\frac{1}{cosx}=-(1-\sin x) } \)

\( \large{z^\prime+z\frac{1}{cosx}=(1-\sin x) } \)

[Dlacier]

Точно, теперь вижу, что плюс.
Тогда решение однородного уравнения было найдено неверно.

\( \large{z^\prime+z\frac{1}{cosx}=0 } \)

\( \large{\frac{dz}{dx}=-z\frac{1}{cosx} } \)

\( \large{\ln |z|=-\ln \left|\frac{1+\sin x}{\cos x}\right|+\ln C } \)

\( z(x)=C \frac{\cos x}{1+\sin x} \)

[Arinochka]

\( \large{z^\prime=c^\prime \frac{\cos x}{1+\sin x}-\frac{c}{1+\sin x}} \)

\( \large{c^\prime \frac{\cos x}{1+\sin x}-\frac{c}{1+\sin x}=-\frac{ccosx}{(1+\sin x)cosx}} \)

\( \large{c^\prime \frac{\cos x}{1+\sin x}-\frac{c}{1+\sin x}+\frac{c}{1+\sin x}=0} \)

\( c=x+c1; \)

[Dlacier]

Как так?

из \( C^\prime=0 \quad \Rightarrow \quad C=x+C_1? \)

И почему подставляете в однородное уравнение??...
Вы проверяете полученное решение однородного уравнения?

[Dlacier]

\( \large{z^\prime+z\frac{1}{cosx}=1-\sin x } \)

\( \large{z=C \frac{\cos x}{1+\sin x}} \)

\( \large{z^\prime=C^\prime \frac{\cos x}{1+\sin x}-\frac{C}{1+\sin x}} \)

После подстановки в неоднородное уравнение (мы же находим \( C(x) \)), получаем

\( \large{C^\prime \frac{\cos x}{1+\sin x}=1-\sin x \)

и т.д.

[Arinochka]

\( \large{C^\prime cosx =1-\sin}^{2} x} \)

\( \large{C^\prime  =cosx} \)

\( \large{C =sinx} \)

\( \large{z =\frac{\sin x\cos x}{1+\sin x}+c} \)

Возвращаемся к замене:

\( \large{y =\frac{1+\sin x}{\sin x\cos x}+c} \)

[Dlacier]

Не совсем, константа интегрирования не там должна быть.

\( \large{C^\prime cosx =1-\sin}^{2} x} \)
\( \large{C^\prime=\cos x} \)

\( \large{C =\sin x +K} \)

[Arinochka]

\( \large{y =\frac{1+\sin x}{\sin x\cos x+c\cos x}} \)
вот так вроде

[Dlacier]

Да, теперь верно.

[Arinochka]

Наконец то)))
Вот еще последний вопрос. Если \( y=0 \) подставить в изначальное уравнение, будет тождество?

[Dlacier]

 
Да.