Дифференциальные уравнения, решение неопределенного интеграла

[Dlacier]

Это хорошо, что поняли, как исправите, пишите.

[Arinochka]

А там разве не должны \( c \) сокращаться? Дальше решается вообще?)

[Dlacier]

Да, кое-что уйдет. И все замечательно решается.

[Arinochka]

У меня получилось  \( \frac{dc}{dx}=-\frac{2c}{cos x} \)=cln\( \frac{1+sinx}{1-sinx} \)

[Dlacier]

Пишите подробно, там не должно быть логарифмов.

[Arinochka]

\(  \frac{dy}{dx}=\frac{dc}{dx}\frac{1+sinx}{cos x}+\frac{c(1+sinx)}{cos^{2}x} \)

 \( \frac{dc}{dx}\frac{1+sinx}{cos x}+\frac{c(1+sinx)}{cos^{2}x}+\frac{c(1+sinx)}{cos^{2}x}=0 \)

 \( \frac{dc}{dx}\frac{1+sinx}{cos x} \)=\( -\frac{2c(1+sinx)}{cos^{2}x} \)

[Dlacier]

\( \frac{dc}{dx}\frac{1+sinx}{cos x}+\frac{c(1+sinx)}{cos^{2}x}+\frac{c(1+sinx)}{cos^{2}x}=0 \)

Почему к нулю то приравниваете? Подставляете тоже невнимательно.

Вот же уравнение


\( \large{-y+y^\prime \cos x+y^2 \cos x(1-\sin x)=0} \)

[Arinochka]

Я подставляла намеренно в другое уравнение. Метод вариации постоянной можно же применять только в линейных неоднородных уравнениях, а нам дано уравнение Бернулли. Поэтому я сначала свела изначальное уравнение к линейному неоднородному, сделав замену, поэтому и подставляла в уравнение  \( \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{cos x} \)
правда у меня не \( y \) а \(  z \)
Посмотрите пожалуйста в Ответ #17. Я просто всегда так решала

[Dlacier]

Теперь становится понятнее, что делаете.
Вернемся к вашему решению

\( \large{-y+y^\prime \cos x+y^2 \cos x(1-\sin x)=0} \)
вы получили
\( \large{\left(\frac{1}{y}\right)^\prime-\frac{1}{y}\frac{1}{\cos x}=\sin x-1} \)
затем замена
\( \large{\frac{1}{y}=z } \)

\( \large{z^\prime -\frac{z}{\cos x}=\sin x -1} \)

Решение однородного уравнения тоже получили
\( \large{z=C \frac{1+\sin x}{\cos x} } \)

\( \large{z^\prime (x)=C^\prime(x) \frac{1+\sin x}{\cos x} +C(x) \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} } \)

Вот теперь все это нужно подставлять в уравнение для \( z(x) \)

[Arinochka]

Только производная вот так вроде будет

\( \large{z^\prime (x)=C^\prime(x) \frac{1+\sin x}{\cos x} +C(x) \frac{1+\sin x}{\cos^2 x} } \)

[Dlacier]

Только производная вот так вроде будет

\( \large{z^\prime (x)=C^\prime(x) \frac{1+\sin x}{\cos x} +C(x) \frac{1+\sin x}{\cos^2 x} } \)

Да.

[Arinochka]

Ну и я вроде в Ответ #65 все подставила в уравнение для z

[Dlacier]

Знаки проверьте. Подставляете невнимательно.
И там тогда не \( y \), а \( z \)

[Arinochka]

Я не вижу ошибку. Подставлять же надо в \( \frac{dz}{dx}=-\frac{z}{\cos x} \) ? 

[Dlacier]

Если туда подставите, получите тождественно ноль.
Нужно в неоднородное уравнение

\( \large{z^\prime -\frac{z}{\cos x}=\sin x -1} \)