Дифференциальные уравнения, решение неопределенного интеграла

[renuar911]

Я и добавил этот опыт  Проще, чем дифференциал отношения двух переменных.
PS У меня под логарифмом должен стоять знак модуля. Я просто впопыхах не вспомнил, как в TeX их сделать...
plot({1/cos(x),log(abs((1+sin(x))/cos(x)))},x=-8..8,y=-5..5);



Красные линии подинтегральная функция, зеленые - первообразная.

[Arinochka]

так и не поняла с этим интегралом

В итоге под интегралом у вас останутся тангенсы половинного угла.

как они там получаются, и потом я так понимаю замена идет? и еще не понятно каким образом может получится + пи пополам в итоге(посмотрела ответ в ссылке,которую дали)

[Dlacier]

1. \( \int \frac{dx}{\cos x} =\int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}}= \int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{2}\left(1-\tan^2 \frac{x}{2}\right)}= \int \frac{d \tan \frac{x}{2}}{1-\tan^2 \frac{x}{2}}=\ldots \)
2. \( \int \frac{dx}{\cos x} = \int \frac{\cos x dx}{\cos^2 x} =\int \frac{ d\sin x}{1-\sin^2 x}=\ldots \)

и еще не понятно каким образом может получится + пи пополам в итоге(посмотрела ответ в ссылке,которую дали)

Это упрощается, подумайте.

[Arinochka]

получается \( \frac{1}{2} \)ln\( \frac{1+sinx}{1-sinx} \)
что то не так...

[Dlacier]

Вы еще не интегрировали по \( y \). Не забудьте про константу интегрирования.

[Arinochka]

не понимаю какой \( y \)

[Dlacier]

Уже не помним зачем пошли в магазин.
Вопрос: для чего вообще находили этот интеграл?

Было когда-то:
\( \frac{dy}{y}=\frac{dx}{\cos x} \)

[Arinochka]

Ааа, ну это понятно))

получается \( \frac{1}{2} \)ln\( \frac{1+sinx}{1-sinx} \)

то есть это правильно?

[Dlacier]

получается \( \frac{1}{2} \)ln\( \frac{1+sinx}{1-sinx} \)

то есть это правильно?

Конечно.

[renuar911]

Нет , неправильно. Забыли модуль.

\( \frac {1}{2} \ln \left |\frac{1+\sin \,x}{1-\sin \, x}\right |+C \)

И все-таки, мое решение самое компактное и, самое удивительное, - его нет даже в Прудникове:

\( \int \frac{dx}{\cos \, x}=\ln \left |\frac{1+\sin \,x}{\cos \, x}\right |+C \)

Оно верное, проверено по производной.

[Dlacier]

В данном случае в модуле нет необходимости, т.к.

\(  \frac{1+\sin \,x}{1-\sin \, x}>0 \)   для любого   \( x\in R \).

[Dlacier]

\( \frac {1}{2} \ln \frac{1+\sin \,x}{1-\sin \, x}=\frac {1}{2} \ln \frac{(1+\sin \,x)^2}{1-\sin^2 \, x}=\ln \left| \frac{1+\sin \,x}{\cos \, x}\right| \)

[renuar911]

Да, все верно. Взаимное, так сказать, обогащение.

Но интересно, почему в Прудникове модуль все-таки стоит? Недосмотр, что-ли? Мне это крайне важно выяснить, так как у меня специальная глава есть в будущей книге, посвященная  подобным тонкостям.

[Dlacier]

\( \int \frac{dx}{\cos x} = \int \frac{ d\sin x}{1-\sin^2 x}=\frac {1}{2} \ln\left| \frac{\sin \,x +1}{\sin \, x-1}\right|=\frac {1}{2} \ln\frac{1+\sin \,x }{1-\sin \, x} \)
В первом случае без модуля никак. Все зависит от того как записывать, поэтому в книгах пишут модуль (я так думаю). В записи Arinochka, можно обойтись и без модуля.

[renuar911]

Я это все понял. Но в Прудникове эта же формула написана с модулем. Хочу понять, почему?