Нужна помощь в нахождении пределов функций

[smith]

помогите плиззз, найти пределы функций не пользуясь правилом Лопиталя.
1) lim x-0 (1-sqrt(1-x^2))/x^2 => здесь я так понимаю нужно домножить на (1+sqrt(1-x^2))/ (1+sqrt(1-x^2)) так ? и что дальше?
2) lim x-0 (cos(x)-cos^3(x))/x^2 => здесь тож домножить на сопряженное, так ?
3) lim x-00 [ln(x+1)-ln(x)] => тут вроде так, ln((x+1)/x) дальше парюсь

[tig81]

1. Дальше формула разности квадратов и смотреть, что сокращается
2. На сопряженное к чему? И что оно даст? В числителе косинус вынести за скобки, далее основное тригонометрическое тождество и получаете первый замечательный предел.
3. Предел вносите в логарифм и почленно делите.

[smith]

ну с первым понятно, 1/2 получится,
2) cos(x)((1-cos^2(x))/x^2) =>........ cos (x) ((1-cos(x))/x)^2   => cos x    так
3)   распишите пожалуйста, не получается у меня ((((

[Nataniel]

cos (x) ((1-cos(x))/x)^2

предел произведения равен произведению пределов, если они существуют)
не так, посчитайте 1-cos^2(x)=sin^2(x). А дальше 1 замечательный предел.

[tig81]

ну с первым понятно, 1/2 получится,

да

2) cos(x)((1-cos^2(x))/x^2) =>........ cos (x) ((1-cos(x))/x)^2   => cos x    так

подробнее, не поняла.

3)   распишите пожалуйста, не получается у меня ((((

\( \lim_{x\to a}\ln{f(x)}=\ln{\lim_{x\to a}f(x)} \)
\( \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \)

[tig81]

предел произведения равен произведению пределов, если они существуют)
не так, посчитайте 1-cos^2(x)=sin^2(x). А дальше 1 замечательный предел.

именно так

[smith]

2) (cos(x)-cos^3(x))/x^2 = cos(x) ((1-cos^2(x))/x^2), так
  дальше получается что  (1-cos^2(x))=sin^2(x), подставляем и получаем
    cos(x)  ((sin^2(x))/x^2), так?  (sin^2(x))/x^2=1=> перв.зам.пред., так ?
 и остается  cos(x)    правильно ?   или я напутал (((((

[smith]

во втором выражении окончательный ответ "1"  получается?

[smith]

3)  ln lim x-00    ((x+1)/x) = ln lim (1+1/x)
                                                    ^
                                                равно 0
получаем ln 1= 0.   Ответ: 0 ?   

[Nataniel]

во втором выражении окончательный ответ "1"  получается?

да

[Nataniel]

3)  ln lim x-00    ((x+1)/x) = ln lim (1+1/x)
                                                    ^
                                                равно 0
получаем ln 1= 0.   Ответ: 0 ?   

да, вот только уточните что конкретно равно 0

[smith]

1/x = 0, т.к.  x стремится к бесконечности, а если 1 разделить на бесконечно большое число, то .....    правильно мыслю ?

[Nataniel]

1/x = 0, т.к.  x стремится к бесконечности, а если 1 разделить на бесконечно большое число, то .....    правильно мыслю ?

да, только запись "1/x=0" не корректна, так вернее будет 1/x -> 0 при x->00.