Установить, является ли линейным оператором заданное отображение

[vitalfan]

Помогите с задачкой
Установить,является ли линейным оператором заданное отображение пространства V3 в себя;выписать его матрицу в прямоугольном базисе B=(i,j,k).
Если x=xi+yj+zk, то Ax=(y+z)i+(2x+z)j+(3x-y)k.

[tig81]

Какое преобразование называется линейным? Что называется матрицей линейного оператора?

[vitalfan]

Преобразование А называется линейным, если для любых векторов \( \overline x ,\overline y  \) и любого а верно:

\( A(\overline x  + \overline y ) = A\overline x  + A\overline y ,A(a\overline x ) = aA\overline x  \)

Матрица линейного оператора - матрица, по столбцам которой стоят координаты образов базисных векторов пространства

[vitalfan]

А как это решить?

[Nataniel]

Возьмите два вектора и сложите. Например:
x=x1*i+x2*j+x3*k и y=y1*i+y3*j+y3*k
A(x+y)=A((x1+y1)*i+(x2+y2)*j+(x3+y3)*k)=...
а потом сравнить результат с A(x)+A(y)

[vitalfan]

Что то не очень понял(а сам оператор Ax куда подставлять?

[tig81]

Что то не очень понял(а сам оператор Ax куда подставлять?

Никуда его подставлять не надо. НАдо посмотреть как действует данный оператор на сумму векторов.

[vitalfan]

Это я понял,но как это сделать,то что выше написано не оч разобрался(

[tig81]

Это я понял,но как это сделать,то что выше написано не оч разобрался(

что именно?

[vitalfan]

Какие векторы складывать,чтобы потом их сравнить с Аx и Ay

[tig81]

Какие векторы складывать,чтобы потом их сравнить с Аx и Ay

х и у. И вам надо найти А(х+у). Если х=(х1; х2; х3), у=(у1; у2; у3), то вектор х+у имеет координаты...

[vitalfan]

Аа все понял и если они будут равны,то это линейный оператор да,и его матрица
0  1 1
0  2 1
3 -1 1

[tig81]

Аа все понял и если они будут равны,то это линейный оператор да,и его матрица

И еще одно свойство проверить надо.

0  1 1
0  2 1
3 -1 1

Элементы а22 и а33 не такие