Неопределенный интеграл. Проверьте, ход мыслей правильный или нет?

[was9]

Ход мыслей правильный или нет? Проверьте

[tig81]

\( \sqrt[3]{(x+3)^{\frac{2}{3}}}={(x+3)}^{\frac{2}{9}}\neq {(x+3)}^{\frac{3}{2}} \)
Но ход мыслей правильный, только непонятно, когда делали замену, как получили третью строку

P.S. Вот полезный теоретический материал для решения интегралов:
Таблица интегралов
Свойства интегралов
Формулы интегрирования

[was9]

Блин извините не правильно написал пример. Вот так он выглядит

[tig81]

Все равно неправильно, т.к. \( \sqrt[3]{(x+3)^2}={(x+3)}^{\frac{2}{3}}\neq {(x+3)}^{\frac{3}{2}} \), хотя после подстановки вроде верно.
Вторая строка, почему когда разбили на два интеграла, возле второго слагаемого получилась 3?
Далее не поняла, как преобразовали первый интеграл? Если привести к общему знаменателю, то получите исходный? Или то вы его уже нашли?! Тогда знак интеграла не надо, \( t^2 \) должно делится на 2, а не на t + также С вынести за модуль логарифма

[was9]

Вроде бы все исправил

Где подчеркнуто помогите разобраться со степенью. Проверьте целиком пример

[tig81]

Вроде бы все исправил

Не все, знак интеграла не убрали во второй строке после первого знака равенства.
После второго равно:
1. Почему второе слагаемое со знаком "+"?
2. \( t^6=x+3 \to t=\sqrt[6]{x+3}=(x+3)^{\frac{1}{6}}\to t^2=((x+3)^{\frac{1}{6}})^2=(x+3)^{\frac{2}{6}}=(x+3)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x+3} \)

[was9]

Знак интеграла убрал. Знак у второго слагаемого поставил "-" Посмотрите еще раз

[tig81]

Знак интеграла убрал.

да

Знак у второго слагаемого поставил "-"

Нет

Посмотрите еще раз

Ну а так вроде правильно.

[Dimka1]

под логарифмом почему t-1 ?

[tig81]

под логарифмом почему t-1 ?

А действительно?!

[was9]

Знак у второго слагаемого поставил "-"

Нет

Не понял это во второй строке где идет +6ln|t-1|+c а должно быть -6ln|t-1|+c

И у меня ln|t-1| а должно быть так ln|t+1|

[tig81]

Не понял это во второй строке где идет +6ln|t-1|+c а должно быть -6ln|t-1|+c

Нет.
У вас было \( 6\left(\frac{t^2}{2}-t\right)+6\int{\frac{dt}{t+1}}=3t^2-6t+6\ln{|t+1|}+C \), а у вас второе слагаемое, которое \( 6t \) получилось со знаком "+"

[was9]

Ну вроде бы все. Проверьте я думаю что запутался со степенями

[tig81]

Ну теперь вроде уже правильно.