Подскажите как решить этот неопределенный интеграл

[was9]

Подскажите как этот интеграл решить? Методом подстановки или заменой?

[tig81]

Замена: \( \sin^5{x}=\sin^4{x}\cdot\sin{x} \) и замена \( \cos{x}=t \)

P.S. Вот полезный теоретический материал для решения интегралов:
Таблица интегралов
Свойства интегралов
Формулы интегрирования

[was9]

Замена: \( \sin^5{x}=\sin^4{x}\cdot\sin{x} \) и замена \( \cos{x}=t \)

Не очень понял мы здесь делаем только одну замену t=cosx как она получилась ведь вроде я сначала пишу в t что мы берем а это sin^5x, а в dt пишу что получилось (беру производную). И вот насчет замены sin^5x объясните зачем вы так расписали. Не очень понимаю как решать с заменой

[renuar911]

\( -\int (1-\cos^2 x)^2 d(\cos x)= \int (t^2-1)^2 dt = ... \)

[tig81]

Не очень понял мы здесь делаем только одну замену t=cosx как она получилась ведь вроде я сначала пишу в t что мы берем а это sin^5x, а в dt пишу что получилось (беру производную).

Теперь я не очень поняла. Вы хотите "в лоб" заменить подынтегральную функцию? А что вам это даст?

И вот насчет замены sin^5x объясните зачем вы так расписали.

Чтобы можно было разумно провести замену.
Т.к. \( \sin^4{x}=(\sin^2{x})^2=(1-\cos^2{x})^2 \), а \( d(\cos{x})=-\sin{x}dx \), что уже выделено под интегралом.

Не очень понимаю как решать с заменой

Надо почитать теорию, посмотреть примеры...

[was9]

\( -\int (1-\cos^2 x)^2 d(\cos x)= \int (t^2-1)^2 dt = ... \)

а куда делся знак "-" после знака равно? После того как мы сделали замену t мы должны что сейчас подставить?

[tig81]

а куда делся знак "-" после знака равно?

Потерялся

После того как мы сделали замену t мы должны что сейчас подставить?

Ну все что можно, заменить на t. А затем найти полученный интеграл.

[was9]

после того как мы заменили все на t что нужно сделать? Подставить опять cos что ли?

[tig81]

после того как мы заменили все на t что нужно сделать?

А затем найти полученный интеграл.

Возводите в квадрат, разбивайте на три интеграла, каждый из которых табличный и находите их.

[was9]

Возводите в квадрат, разбивайте на три интеграла, каждый из которых табличный и находите их.

На 3 интеграла это
1) sin^2xdx
2) sin^2xdx
3) sinxdx

Или это
1) cos^2xdx
2) cos^2xdx
3) cosxdx

[tig81]

Возводите в квадрат, разбивайте на три интеграла, каждый из которых табличный и находите их.

На 3 интеграла это
1) sin^2xdx
2) sin^2xdx
3) sinxdx

Или это
1) cos^2xdx
2) cos^2xdx
3) cosxdx

А где в этих интегралах присутствует t?

ЗДесь вы получили в итоге интгеграл, зависящий от t (самый последний). Теперь на непродолжительное время забываем, что у нас был х, тригонометрия и находим интеграл \( \int{(1-t^2)^2dt} \)