Экстремумы функции одного аргумента!!!!

[Астасья]

Полоса жести шириной а должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба(рис)Каков должен быть центральный угол ф,чтобы вместимость желоба была наибольшей?

Вот рисунок

[Астасья]

Даже примерно не знаю как решить
скорей всего через производную,но какого уравнения??
HELP!!!!

[Данила]

посмотрите формулу площади сегмента

[renuar911]

Проще репы. Площадь сегмента

\( S=0.5 R^2[\phi-\sin(\phi)] \)

Ширина полосы a есть дуга сегмента:

\( a=R \phi \)

Выражаете R , подставляете в S и берете поизводную по углу.
Приравниваете нулю и находите оптимальный \( \phi \)

Я сам попробовал рассчитать и получил что максимум площади будет при   \( \phi=\pi \)

Это как раз полуокружность.

Производная равна:

\( S'=-\frac{1}{2}\,{\frac {{a}^{2} \left [ \phi-2\,\sin \left( \phi \right) +\phi\cos
 \left( \phi \right)  \right] }{{\phi}^{3}}}
 \)

Производная будет равна нулю, если

\(  \phi-2\,\sin \left( \phi \right) +\phi\cos
 \left( \phi \right)=0 \)

Корни: \( \phi=0 \, ; \quad \phi=\pi \)

Принимаем второе значение.



Так обычно лотки и делают.

[Астасья]

Спасибо

[Астасья]

не могли бы вы S' расписать поподробнее,тк у меня получаеться не совсем так,( перед ф в скобках производной 2 выходит)

[renuar911]

Сейчаc. Обозначаю угол через  x (мне так проще писать). Тогда

\( S=\frac{1}{2}R^2[x-\sin(x)] \)

\( R=\frac {a}{x} \)

\( S=\frac{a^2}{2x^2}[x-\sin(x)] \)

Производная:



Ну а далее я все уже расписал, как найти оптимальный угол.

Проверка производной:



Все ОК!

[Астасья]

теперь всё получилось

[renuar911]

Очень хорошо! Прекрасная задача - мне она понравилась практической полезностью.