Помогите решить ирриациональное уравнение

[tenLubov]

Помогите решить иррациональное уравнение. Всеми мне известными способами не могу решить. Мож кто подскажет. Очень надеюсь на вашу помощь. Нужно полное решение.

[renuar911]

Решение нашел (причем точное!) чисто графически:



Теперь уж время подумать, как его получить аналитически.

Проверяю в Maple:

x:=sqrt(5)-2;y:=((x+4)^(1/3)-x^(1/3))*(2-3*(x^2+4*x)^(1/3))+1;

Получаю ноль.

[Nataniel]

Вот я бы например сделала замену
y=(x+4)^(1/3)-x^(1/3).
Тогда
-3*(4x*x+x)^(1/3)=-3(4+x)^(1/3)*x^(1/3)=|(a-b)^3=a^3-3*ab(a-b)-b^3|=y^2+4/y
И поллучаем
y(2+y^2+4)+1=0
y^3+2*y+5=0
А дальше решаем... По ходу правильно, но в цифрах мог запутаться проверьте, но ход решение вроде такой

[renuar911]

Можно так расписать уравнение:

\( (\sqrt[3]{x+4}-\sqrt[3]{x})(2-3 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x+4}) \)

обозначим

\( a = \sqrt[3]{x+4}\,\;\quad b=\sqrt[3]{x} \)

Тогда  \( (a-b)(2-3 ab)=-1 \)

Это дело легко решить, если принять первую скобку за 1, а вторую скобку за -1

Одно из решений: \( a=\frac {\sqrt {5}+1}{2} \, ; \quad b=\frac{\sqrt {5}-1}{2} \)

Обратным преобразованием найдем \( x=\sqrt{5}-2 \)

[Nataniel]

Это дело легко решить, если принять первую скобку за 1, а вторую скобку за -1

А почему именно так? ведь можно еще и как 1/2 и (-2)?

[renuar911]

Я пошел по самому легкому пути и получилось. Нужно подумать и найти четко алгебраический путь к решению

[Nataniel]

Я пошел по самому легкому пути и получилось. Нужно подумать и найти четко алгебраический путь к решению

Вот я бы например сделала замену
y=(x+4)^(1/3)-x^(1/3).
Тогда
-3*(4x*x+x)^(1/3)=-3(4+x)^(1/3)*x^(1/3)=|(a-b)^3=a^3-3*ab(a-b)-b^3|=y^2+4/y
И поллучаем
y(2+y^2+4)+1=0
y^3+2*y+5=0
А дальше решаем... По ходу правильно, но в цифрах мог запутаться проверьте, но ход решение вроде такой
По моему очень даже алгебраически

[renuar911]

Что-то не так у Вас.
Последнее уравнение имеет действительное решение

\( y=-1/6\,\sqrt [3]{540+12\,\sqrt {2121}}+4\,{\frac {1}{\sqrt [3]{540+12\,
\sqrt {2121}}}}
 \)

А предпоследнее уравнение:

\( y=-1/2\,\sqrt [3]{4+4\,\sqrt {33}}+4\,{\frac {1}{\sqrt [3]{4+4\,\sqrt {
33}}}}
 \)

Кажется ясно. Нужно идти по моему пути, но учесть соотношение между a и b

\( a^3=b^3+4 \)

Тогда получим систему двух уравнений  относительно a и b

Точно! Вот система

\( a^3=b^3+4 \)
\( (a-b)(2-3ab)=-1 \)

Получаются решения те, что я и привел.

Вроде разобрались. Но пример сложный.

Можете проверить:

solve({a^3=b^3+4,(a-b)*(2-3*a*b)=-1},[a,b]);allvalues(%);

[Nataniel]

Что-то не так у Вас.

Конечно не так) Перепутал цифры! Правильное уравнение
y^3+2*y-3=0
А по поводу системы: а как систему решать? Подстановкой? Я думаю так сложнее, но как говориться на вкус и цвет...все фломастеры разные)

[renuar911]

Да! Это уже другое дело! Ваше уравнение преобразуется в:

\( (y-1)(y^2+y+3)=0 \)

Действительный корень один: y=1

Теперь Вы знаете 2 метода решения  
Что плохого?

[Nataniel]

Ничего плохого) Хотя лично мне достаточно одного - графического.
Математиков обычно интересует само наличие решения, а не его точное значение)))

[renuar911]

Ну уж сказал! Как раз математиков интересует точное решение, а всяким там инженерам - хотя бы приближенное

[Nataniel]

Это смотря каких математиков))) Но я думаю что это не то место где об этом нужно разглогольствовать.