Проверьте, пожалуйста, интегралы

[Poonchik]

Проверьте, пожалуйста. Проверяю дифференцированием - не сходится(( Либо решение неверно, либо дифференцирую неправильно( Спасибо)


\( \int\frac{19-4x}{2x^2+x-3}dx \)

\( 2x^2+x-3 =  \) \( 2(x^2+\frac{x}{2}-\frac{3}{2}) =  \) \( 2(x^2+\frac{2x}{4}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{3}{2}) =  \) \( 2\left [(x+\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}-\frac{3}{2} \right ] =  \) \( 2\left [(x+\frac{1}{4})^2-\frac{25}{16} \right ] \)

\( t = x+\frac{1}{4} \)

\( x = t-\frac{1}{4} \)

\( \int\frac{19-4x}{2x^2+x-3}dx =  \) \( \int\frac{19dt}{2(t^2-\frac{25}{16})}-\int\frac{4(t-\frac{1}{4})dt}{2(t^2-\frac{25}{16})} =  \) \( \frac{19}{2}\int\frac{dt}{t^2-\frac{25}{16}}- \) \( 2\int\frac{tdt}{t^2-\frac{25}{16}}+ \) \( \frac{1}{2}\int\frac{dt}{t^2-\frac{25}{16}} =  \) \( 10\int\frac{dt}{t^2-\frac{25}{16}}- \) \( 2\int\frac{tdt}{t^2-\frac{25}{16}} =  \) \( -10\int\frac{dt}{\frac{25}{16}-t^2} -  \) \( 2\int\frac{tdt}{t^2-\frac{25}{16}} \)

\( 2\int\frac{tdt}{t^2-\frac{25}{16}} \)

\( a=t^2-\frac{25}{16} \)

\( da=2t \)

\( t= \frac{da}{2} \)

\( 2\int\frac{tdt}{t^2-\frac{25}{16}} =  \) \( \int\frac{da}{2} =  \) \( \ln\left |a \right | =  \) \( \ln\left |t^2-\frac{25}{16} \right | =  \) \( \ln\left |(x+\frac{1}{4})^2-\frac{25}{16} \right | =  \) \( \ln\left |2x^2+x-3 \right | \)

\( -10\int\frac{dt}{\frac{25}{16}-t^2} =  \) \( -\frac{20}{5}\ln\left |\frac{\frac{5}{4}+t}{\frac{5}{4}-t} \right | =  \) \( -4ln\left |\frac{2x+3}{2x+2} \right | \)

Ответ: \( -4ln\left |\frac{2x+3}{2x+2} \right | -  \) \( \ln\left |2x^2+x-3 \right | +  \)  С

[Dimka1]

не правильно выделили в знаменателе полный квадрат.
Решите по другому - разложите сложную дробь на сумму простых

2*x^2+x-3=(x-1)(2x+3)

(19-4x)/(x-1)(2x+3)=A/(x-1)+B/(2x+3)

A(2x+3)+B(x-1)=19-4x
При x=1,  5A=15, A=3
При x=-3/2,  B=-10

(19-4x)/(2x-2)(2x+3)=3/(x-1)-10/(2x+3)

дальше по таблице

[Poonchik]

Спасибо)

[Poonchik]

а не подскажите, где взять эту таблицу, че то у меня нет такой(

[Dimka1]

Ну это табличный интегралы. Решаются по правилу интегрирования сложных функций см. школьный курс.

int [ 3/(x-1)-10/(2x+3) ]dx =3*ln(x-3)-(10/2)*ln(2x+3)+C

[Poonchik]