Исследовать методами дифференциального исчисления

[vansso]

Проверьте пожалуйста задачку
Y=(x^2+1)/(x^2-1)

1) найти область определения функции;
2) найти (если возможно) точки пересечения графика с осями координат;
3) выяснить является ли функция четной, нечетной или общего вида;
4) исследовать функцию на непрерывность;
5) найти асимптоты графика функции;
6) найти экстремумы, интервалы монотонности функции;
7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции;
8 ) на основании проведенного исследования построить график функции.

1)   Область определения
Функция не определена в точке +/- 1 (-1 и 1)

2)   Найти точки пересечения графика фунуции с осями координат
С осью Ох: y=0   =>  0=(x^2+1)/(x^2-1) => x=+/- 1
Т.к +/- 1 не входит в область определения, то график не пересекает ось Х .
 С осью Оy: x=0   =>  y=(0^2+1)/(0^2-1) => y=-1
Получили точку А (0;-1)

3)   Функция четная вида т.к.
F(-x)= ((-x)^2+1)/((-x)^2-1)   “знак не равно” –f(x) ; “=” f(x)

4)   Здесь не понятно что от меня требуется :\
?

5)   Асимптоты
А) Имеет вертикальную асимптоту х= +/- 1
Тут я нахожу лимит х-> +/- 1 и это будет равно бесконечности

Б) не имеет вертикальную асимптоту
?? А или Б, какой правильный вариант?
Уравнение наклонной асимптоты, будет искать в виде y=kx+b

Тк k=0, наклонной асимптоты нет
Y =0   - уравнение горизонтальной асимптоты
? ??

6)   Экстремы
Y(производная)=-4х/(x^2-1)^2
-4х/(x^2-1)^2=0   (приравниваем к 0)
Х1=0
Х2,3 =+/- 1 (не входит в область определения)

Таким образом функция возрастает при х ”принадлежит” (-«бесконечность»;0) и убывает при х ”принадлежит” (0; +«бесконечность»)
F(0)=-1

7)   Выпуклость, вогнутость
Y”=

Полученное приравниваем к 0
Знаменатель  часть «удаляем», получается:
-4(X^2-1)+8x=0
…
4x^2-8x-4=0
Д=0
Х=1

F(1)=(-4*(1^2-1)+8*1 )/(1^2-1)^3=0   - подставил в y”

8 )   Как график будет я себе представляю (пробил по «онлине построении графиков»)
Но как мне типа правильно построить? Известно всего одна точка А (0;-1)

[tig81]

2)   Найти точки пересечения графика фунуции с осями координат
С осью Ох: y=0   =>  0=(x^2+1)/(x^2-1) => x=+/- 1

Как вы эти точки нашли?
3)   Функция четная вида т.к.
F(-x)= ((-x)^2+1)/((-x)^2-1)   “знак не равно” –f(x) ; “=” f(x)

4)   Здесь не понятно что от меня требуется :\ ?

Исследовать на непрерывность 
Посмотрите, что значит функция непрерывна в точке и классификацию точек разрыва.

5)   Асимптоты
А) Имеет вертикальную асимптоту х= +/- 1
Тут я нахожу лимит х-> +/- 1 и это будет равно бесконечности

Б) не имеет вертикальную асимптоту

Пункт Б из каких соображений?

Уравнение наклонной асимптоты, будет искать в виде y=kx+b

Тк k=0, наклонной асимптоты нет
Y =0   - уравнение горизонтальной асимптоты
? ??

Как b находили? Почему отнимается х?

6)   Экстремы
Y(производная)=-4х/(x^2-1)^2
-4х/(x^2-1)^2=0   (приравниваем к 0)
Х1=0
Х2,3 =+/- 1 (не входит в область определения)

Это точки, в которых производная не существует, они должны быть нанесены на координатную прямую для определения знака.

7)   Выпуклость, вогнутость
Y”=

У меня чего-то не такая вторая получилась?!

Х=1

Не принадлежит области определения и в ней вторая производная не существует, поэтому должна быть выколота.
+ найдены не все точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

8 )   Как график будет я себе представляю (пробил по «онлине построении графиков»)
Но как мне типа правильно построить? Известно всего одна точка А (0;-1)

Если по точкам, то найдите еще какие-то дополнительные+учесть точки перегиба, экстремума, интервалы монотонности.

[Nataniel]

Ну так на вскидку:
в 7 пункте(выпуклость и вогнутость) вы точно уверены что 1 - закрашена(т.е. сходит в область определение) и вы точно чситаете что в этой точке меняется знак?! У вас есть как минимум график, посмотрите на него в этой точке выпуклость не меняется(!) как и знак второй производной, ну либо вы неправильно посчитали производную(в детали вычисления не вдавался)

[Semen_K]

Проверить исследования очень просто. Постройте график . На сайте есть построитель графиков и сверьте свои вычисления с графиком. Вот и все.

[vansso]

2) Здесь я вместо х поставил 0, потом аналогично с у

4) Функция непрерывна всюду на области определения, как дробно -рациональная функция
такое пойдет?

Сдесь дальше исправил, пункт Б я полностью выкидываю(добавлял т.к. была небольшая паранойя )
5) Имеет вертикальную асимптоту х=+/- 1 тк

Уравнение наклонной асимптоты, будет искать в виде y=kx+b
k=0
b=1  (да действительно здесь нет Х, просто раньше у меня было ошибочное решение k=1, его и исправил а здесь забыл :/)
тк k=0, наклонной асимптоты нет
y=1 - уравнение горизонтальной асимптоты

6)
х1=0
х2,3=+/-1

Следовательно х1=0 - точка мах
y(max)=y(0)= -1
Таким образом функция возрастает при х ”принадлежит” (-«бесконечность»;0) и убывает при х ”принадлежит” (0; +«бесконечность»)

7)
Здесь у меня была ошибка, не правильно 2ю производную порешал (красным овалом выделил, что упустил в предыдущий раз)

Следовательно на интервале (-1;1) график выпуклый, а на интервалах (-"бесконечность"; -1) и (1;+"бесконечность") график вогнутый

8 )
Добавляю точки В и С
точка В f(0,5)=-1,66
точка С f(-0,5)=-1,66
И строю график на основании исследования ...

[tig81]

2) Здесь я вместо х поставил 0, потом аналогично с у

Дробь равна 0, когда числитель равен 0, а знаменатель нет. Разве при \( x=\pm 1 \) \( x^2+1=0 \)?

4) Функция непрерывна всюду на области определения, как дробно -рациональная функция
такое пойдет?

Кроме тех точек, в которых знаменатель обращается в 0. И вот исследовать в этих точках на непрерывность. Вот так тогда пойдет. 

Сдесь дальше исправил, пункт Б я полностью выкидываю(добавлял т.к. была небольшая паранойя )

Как исправили?

5) Имеет вертикальную асимптоту х=+/- 1 тк

Только вертикальных 2, т.е. "имеет вертикальнЫЕ асимптотЫ"

Уравнение наклонной асимптоты, будет искать в виде y=kx+b
k=0
b=1  (да действительно здесь нет Х, просто раньше у меня было ошибочное решение k=1, его и исправил а здесь забыл :/)

Да, теперь верно

тк k=0, наклонной асимптоты нет
y=1 - уравнение горизонтальной асимптоты

так

6)
х1=0
х2,3=+/-1

Следовательно х1=0 - точка мах
y(max)=y(0)= -1

да

Таким образом функция возрастает при х ”принадлежит” (-«бесконечность»;0) и убывает при х ”принадлежит” (0; +«бесконечность»)

\( \pm 1 \) не входят в область определения (их надо выкалывать)+у вас эти точки нанесены на координатную прямую, а при определении промежутков монотонности они никак не использованы.

7)
Здесь у меня была ошибка, не правильно 2ю производную порешал (красным овалом выделил, что упустил в предыдущий раз)

Знаменатель в квадрат не возвели (посмотрите формулу - производная частного)
Производной в числителе еще подобные можно свести.
На координатной прямой точки должны быть выколотыми: в них ни производная, ни функция неопределены.

Следовательно на интервале (-1;1) график выпуклый, а на интервалах (-"бесконечность"; -1) и (1;+"бесконечность") график вогнутый

Верно

8 )
Добавляю точки В и С
точка В f(0,5)=-1,66
точка С f(-0,5)=-1,66

Можно для точности бюольше точек найти

И строю график на основании исследования ...

Да, с изображением всех асимптот, точек экстремума...
[/quote]