Частное решение системы дифференциальных уравнений

[sir. Andrey]

Дорогие друзья, помогите пожалуйста дорешать эту систему!!! 

--------------------
\( x'=-6x+8y \)
\( y'=-4x+6y-\frac{2}{ch2t} \)
--------------------


\( ch2t=sh^2t+ch^2t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}+\frac{e^t+e^{-t}}{2}=\frac{e^{2t}}{2} \)
Т.е. систему представим в виде:

--------------------
\( x'=-6x+8y \)
\( y'=-4x+6y-4e^{-2t} \)
--------------------

Корни характеристического уравнения:
\( \lambda_1=-2 \)
\( \lambda_2=2 \)

Находим значение собственных векторов:

\( h_1=\begin{pmatrix}
 2  \\
1
\end{pmatrix} \)
\( h_2=\begin{pmatrix}
 1  \\
1
\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}
 x_o \\
y_o
\end{pmatrix}=C_1e^{-2t}\begin{pmatrix}
 2  \\
1
\end{pmatrix}+C_2e^2^t\begin{pmatrix}
 1  \\
1
\end{pmatrix} \)

И дальше пошли косяки!!! 
Частное решение надо искать в виде:

\( \begin{pmatrix}
 x_c_h \\
y_c_h
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a+bt+ct^2  \\
k+zt+dt^2
\end{pmatrix}e^{-2t} \)

Но когда я подставляю это счастье в систему, то получается жуткая система из 6-ти уравнений!!! 

\( c=2d \)
\( d=c=4z-2b \)
\( b=-4a+8k \)
\( z=-2a+6k-4 \)


Ее корни я нашел, но они не подходят...
\( z=1 \)
\( b=2 \)
\( a=\frac{7}{2} \)
\( k=2 \)
\( c=d=0 \)

Помогите пожалуйста разобраться с этой проблемой!!!!

[Dimka1]

Из первого выразите y=(x'+6x)/8, y'=(x''+6x')/8 и подставьте во второе

x''-4x=-32e^(-2t)
x0=C1e^2t+Ce^(-2t)

xch=Axe^(-2t),  A=8,

xch=8xe^(-2t)

x=x0+xch=C1e^2t+Ce^(-2t)+8xe^(-2t)

y=(x'+6x)/8 =(1/2)C1e^(-2t)+C2e^(2t)+e^(-2*t)+4te^(-2*t)

Вот собственно и всё

[sir. Andrey]

Спасибо за идею, но кажется ты немного намудрил, либо я что-то не понял!!!
У меня получилось так!!!

\( y=\frac{x'+6x}{8} \)

\( y'=\frac{x''+6x'}{8} \)

\( \frac{x''+6x'}{8}=-4x+\frac{6}{8}(x'+6x)-4e^{-2t} \)

\( x''-4x=-4e^{-2t} \)

\( \lambda^2-4=0 \)

\( \lambda_{1,2}=\pm2 \)

\( x_o=C_1e^-^2^t+C_2e^2^t \)

\( x_c_h=Ate^{-2t} \)

\( x_c_h'=e^{-2t}(A-2At) \)

\( x_c_h''=e^{-2t}(-4A+4At) \)

\( -4A+4At-4At=-4 \)
\(
A=-4 \)

\( x=C_1e^{-2t}+C_2e^2^t-4te^{-2t} \)

\(
y=\frac{1}{2}C_1e^{-2t}+C_2e^{2t}-2te^{-2t} \)

Спасибо за внимание!  

[Dimka1]

Спасибо за идею, но кажется ты немного намудрил, либо я что не понял!!!
У меня получилось так!!!

\( x=C_1e^{-2t}+C_2e^2^t-4te^{-2t} \)

\(
y=\frac{1}{2}C_1e^{-2t}+C_2e^{2t}-2te^{-2t} \)

Подставьте Ваше решение в первое уравнение системы
x'=-6x+8y

Получается верное равенство? Вроде нет. Значит ответ не верный.

Намудрил я с тем, что в частном решении вместо t написал x.

Из первого выразите y=(x'+6x)/8, y'=(x''+6x')/8 и подставьте во второе

x''-4x=-32e^(-2t)
x0=C1e^2t+C2e^(-2t)

xch=Ate^(-2t),  A=8,

xch=8te^(-2t)

x=x0+xch=C1e^2t+C2e^(-2t)+8te^(-2t)

y=(x'+6x)/8 =(1/2)C2e^(-2t)+C1e^(2t)+e^(-2*t)+4te^(-2*t)

Подстановка моего ответа в уравнения системы дает верные равенства. Значит ответ правильный.

[sir. Andrey]

Ладно, спасибо, буду разбираться!!! 

[Dimka1]

\( \frac{x''+6x'}{8}=-4x+\frac{6}{8}(x'+6x)-4e^{-2t} \)

\( x''-4x=-4e^{-2t} \)

Проверьте правильность преобразований (забыли слагаемое -4e^(-2t) домножить на 8 )

Должно получиться

\( x''-4x=-32e^{-2t} \)

[sir. Andrey]

Да, я уже дорубился, и \( A=-8 \)
Все супер!!! 
Огромное спасибо!!! 

[Dimka1]

A=8

[sir. Andrey]

Блин, точно,