Математический анализ. Помогите решить 4 задания из разных тем

[Aravita]

Помогите пожалуйста решить 4 задания из разных тем.

1) Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:
y^3=x, y=1, x=8
Мое решение:
Точки пересечение (1;1), (8;512)
S= ∫(от 1 до 8) (x^(1/3)-1)dx
но ответ мне кажется не верным

2) Исследовать сходимость несобственного интеграла
∫ (от 0 до +∞) xdx/(x^5+1)^(1/2)

lim (b->+∞) ∫ (от 0 до b) xdx/(x^5+1)^(1/2)
не могу разобраться как решать дальше

3) Решить дифференциальное уравнение:
(y-x)dx + (y+x)dy = 0
привела к виду
dy/dx = - (y-x)/(y+x), дальше не могу

4) Найти экстремумы функции 2х переменных:
z = 3x^2 + 10xy + 6y^3 + 2y + 2x -1

z' (x) = 0 | 6x + 10y +2 = 0
z' (y) = 0 | 10x + 18y^2 + 2 = 0
но при дальнейших расчетах получаются ужасные цифры

[Dlacier]

1) Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:
y^3=x, y=1, x=8
Мое решение:
Точки пересечение (1;1), (8;512)
S= ∫(от 1 до 8 ) (x^(1/3)-1)dx
но ответ мне кажется не верным

Интеграл записан верно.

3) Решить дифференциальное уравнение:
(y-x)dx + (y+x)dy = 0

Делайте замену
\( z=y+x \)

[renuar911]

4) Ничего сложного в системе нет. Два решения:

a) \( x_1=-\frac{17}{81} \, ; \quad y_1=-\frac{2}{27} \, ; \quad z_1=-\frac{8416}{6561} \approx -1.2827 \)

b)  \( x_2=-2 \, ; \quad y_2=1 \, ; \quad z_2=-5 \)

Следовательно, глобальный минимум z=-5 при (x,y)=(-2;1)

PS. Вам достаточно было лишь решить  квадратное уравнение

\( 27y^2-25y-2=0 \)