Помогите с интегралами

[Fairmont]

1.
\( \int (1+2x^2)/(x^2(1+x^2))dx \)
раскрыл скобки разделил на два интеграл
\( \int 1/(x^2+x^4)dx+\int 2x^2/(x^2+x^4)dx \)
Можно ли поднять знаменатель вверх и найти интеграл? Или тут другой подход надо?
2.
\( \int sin^2(x/2)dx \)
Во втором не знаю даже с чего начинать. Заранее спасибо

 

[tig81]

1.
\( \int (1+2x^2)/(x^2(1+x^2))dx \)
раскрыл скобки разделил на два интеграл
\( \int 1/(x^2+x^4)+\int 2x^2/(x^2+x^4)dx \)
Можно ли поднять знаменатель вверх и найти интеграл? Или тут другой подход надо?

Другой. Смотрите метод неопределенных коэффициентов или метод Остроградского
П.С. Дробь в ТеХе пишется так: \frac{числитель}{знаменатель}

2.\( \int sin^2(x/2)dx \)
Во втором не знаю даже с чего начинать. Заранее спасибо

Формулы понижения степени.

P.S. Вот полезный теоретический материал для решения интегралов:
Таблица интегралов
Свойства интегралов
Формулы интегрирования

[Fairmont]

\( \int sin^2\frac{x}{2}dx=\int \frac{1-cos2\frac{x}{2}}{2}dx=\frac{1}{2}-sinx \)
Вроде правильно решил, а вот первый, что то я не пойму метод Остроградского, можете показать как он работает?

[tig81]

\( \int sin^2\frac{x}{2}dx=\int \frac{1-cos2\frac{x}{2}}{2}dx=\frac{1}{2}-sinx \)
Вроде правильно решил,

Нет, неправильно. В первом слагаемом х потеряли и в конце еще надо +С

а вот первый, что то я не пойму метод Остроградского, можете показать как он работает?

Например, так или так

[Fairmont]

все нашел ошибку.
А как они так числитель расписывают?

[tig81]

все нашел ошибку.

Это хорошо

А как они так числитель расписывают?

В числителе многочлен степени на единицу меньше, чем в знаменателе, с неизвестными коэффициентами.

[Fairmont]

Все равно не как не могу понять этот способ у меня же степень 1 куда её ещё понижать. Можешь хоть начало примера расписать?

[tig81]

Все равно не как не могу понять этот способ у меня же степень 1 куда её ещё понижать.

До 0 степени, т.е. константы

[Fairmont]

Наверно я не догоняю, я не как не могу расписать, может еще должен быть какой нибудь способ?

[tig81]

Наверно я не догоняю, я не как не могу расписать, может еще должен быть какой нибудь способ?

Смотрите метод неопределенных коэффициентов

[Fairmont]

Ладно спасибо за помощь ну я так не чего не понял, вот что то попробовал сделать
\( \frac{A}{x^2}+\frac{B}{1+x}+\frac{C}{1-x}=\frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)} \)
И то можно сказать по шаблону((

[tig81]

Второе и третье слагаемое откуда слева взялись?

[Fairmont]

ну  посмотрел как в примере, ну честно говоря я сути не улавливаю

[tig81]

\( 1+x^2 \)так на множители не раскладывается.

[Fairmont]

Ладно спасибо буду с преподавателем общаться