Дифференциальное уравнение, подскажите как решить

[00884]

x²ydy-2xy²dx=2xdx-2ydy, y(0)=0
Сразу после первой лекции во втором полугодии не понял тему, даже читая конспект не очень понимаю. Преподователь говорит, что, чтобы решить такое уравнение надо сначала с иксом в одну сторону, с игреком в другую. Ок, сделал, получилось так ydy/(1+y²)=2xdx/(x²+2). Дальше вроде надо проинтегрировать обе части уравнения, и выразить игрек. Зачем тогда нужно данное в начале y(0)=0?

[Данила]

это начальное условие,из него находите C

ну например

\( y=x^2 + 7x+c \)
\( y(0)=3 \)
\( 3=0+0+C => c=3 \)
Ответ\( y=x^2 + 7x+3 \)

[00884]

А где в моем уравнении С не могу понять?

[Данила]

когда считаете интеграл вы еще добовляете С - произвольную константу.
пример
\( \int 2x dx= x^2 +c  \)

[00884]

Все, теперь все отлично понял, спасибо

[00884]

Думал справлюсь дальше, но увы и ах..
Проинтегрировал обе части уравнения в итоге получилось ½ln(y²+1)=ln(x²+2)+C. Ума не приложу как от сюда выразить y.

[Данила]

так как С произвольная,то возьмем ее как lnC

получаем
\( ln(y^2+1)^{\frac{1}{2}}=ln(x^2 +2)+lnC \)
\( ln(y^2+1)^{\frac{1}{2}}=ln((x^2 +2)\cdotC) \)
убираем логарифмы
\( (y^2+1)^{\frac{1}{2}}=(x^2 +2)C \)
\( y^2+1=((x^2 +2)C)^2 \)
\( y=\sqrt{((x^2 +2)C)^2 -1} \)
\( y(0)=0 => 0=\sqrt{((0^2 +2)C)^2 -1} \)
\( 0=\sqrt{4C^2-1} => 4C^2=1 =>C=+-\frac{1}{2} \)