Решить неоднородное линейное дифференциальные ур-ния второго порядка

[Эфко]

Может задачи покажутся легкими но... Я учусь заочно, теории не дают(((

Решаю сейчас неоднородное линейное уравнение второго порядка. В тупик ставит вторая часть. Никак не пойму как она решается.
y"+2y'=36 cos x
k²+2k=0
k(k+2)=0
k₁=0
k₂=-2
y₁=e^0*x =1
y₂=e^-2x
y=c₁+c₂e^-2x

Вопрос в том как найти частное теперь его решение  

[Данила]

а) метод вариации постоянных
б) берем у*=Asinx+Bcosx
находим y'*,y''* ,подставляем в исходное,находим коэфиценты. это будет частное решение и его прибавляем к однородному

[Эфко]

y_чн=A cos x +sin x
y'_чн= Bcos x - A sin x
y"_чн=-A cos x-B sin x
y"_чн + 2y'_чн+2y=36 cos x

-A cos x - B sin x = 2(B cos x - A sin x) + 2(A cos x +B sin x) - 36 cos x = 0
-A cos x - B sin x +2B cos x - 2A sin x +2 A cos x + 2Bsin x - 36 cos x = 0

(-A+2B+2A-36) cos x + (-B-2A+2B) sin x = 0
(A+2B-36) cos x +(-2A+B)sin x = 0

Решаем систему для
A+2B-36=0
-2A+B=0

Получаем
A=7.2
B=14.4

y_чн=7.2 cos x +14.4 sin x

у=c₁+c₂e^-2x+7.2 cos x +14.4 sin x

Так?

[Данила]

а откуда у вас ,когда уже подставляли появилось +2y? в исходном же не было его

[Эфко]

Сейчас все исправлю

[Эфко]

y_чн=A cos x +sin x
y'_чн= Bcos x - A sin x
y"_чн=-A cos x-B sin x
y"_чн + 2y'_чн=36 cos x

-A cos x - B sin x+ 2(B cos x - A sin x) - 36 cos x = 0
-A cos x - B sin x +2 B cos x - 2A sin x  - 36 cos x = 0

(-A+2B-36) cos x + (-B-2A) sin x = 0
(A+2B-36) cos x +(-2A+B)sin x = 0

Решаем систему для
A+2B-36=0
-2A+B=0

Получаем
A=7.2
B=14.4

y_чн=7.2 cos x +14.4 sin x

у=c₁+c₂e^-2x+7.2 cos x +14.4 sin x

Так?

[Данила]

(-A+2B-36) cos x + (-B-2A) sin x = 0
(A+2B-36) cos x +(-2A+B)sin x = 0

не понятен вот этот переход...что вы тут сделали и зачем. берете 1ое ур-ие и решаете систему
-A+2B=36
-B-2A=0
-5A=36
A=-7.2
B=14.4

[Эфко]

Там исправила ошибку

(-A+2B-36) cos x + (-B-2A) sin x = 0

-А+2В-36=0
-В+2А=0

А=14
В=24

y_чн=14 cos x +24 sin x

у=c₁+c₂e^-2x+14 cos x +24 sin x

[Данила]

опять
(-A+2B-36) cos x + (-B-2A) sin x = 0

-А+2В-36=0
-В+2А=0
почему в последнем +2А если в уравнении было (-B-2A)?

[Эфко]

Опять некрасивое решение получается 
-А+2В-36=0
-В-2А=0
В=-14,4
А=-64,8

[Данила]

соберитесь,как опять вы получили те А и B?
-А+2В-36=0
-В-2А=0

умножим 2ое на 2 и прибавим к 1ому

-5А-36=0 => A=-7.2
подставим это А во 2ое ур-ие
-B+14.4=0 => B=14.4

вполне нормальные коэффиценты.
коль не верите - http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%2B2y%27-36cosx

[Эфко]

Спасибо

[Эфко]

y"-3y'+2y=1/(3+e^-x)
Корни характеристического уравнения
k₁=2   k₂=1
y₁=e^2x
y₂=e^x
y_общ=c₁e^x+c₂e^2x

Пусть с1=с1(x), c2=c2(x)
y₁=e^x   y'₁=e^x
y₂=e^2x     y'₂=2e^2x

f(x) = 1/(3+e^-x)

Система уравнения

c'₁y₁+c₂'y₂=0
c'₁y'₁+c'₂y'₂=f

c'₁e^x+c₂e^2x=0
c'₁e^x+c'₂2e^2x=1/(3+e^-x)

W=y₁y₂'-y₂y'₁=e^x * 2e^2x-e^2x* e^x = e^3x


Что дальше? Можно все теперь подставить в формулу и интегрировать?

[Данила]

зачем вранскиан вам? решайте систему,находите с'1 c'2 ,потом проинтегрируете - найдете с1,с2 и подставите в однородное решение