1-ый замечательный предел

[CENTRE # 1]

помогите решить 1-ым замечат.-м пределом задание, lim (1-cos(6x)/1+cos(2x)) x->0, я решал с помощью эквивалентов, но мне препод сказал не правильно кто поможет? а с 1-ым з. пределом не получается

[Данила]

правило Лапиталя.

[renuar911]

Непонятно, причем тут первый замечательный. Ведь

\( \lim \limits_{x \to 0}\frac{1-\cos(6x)}{1+\cos(2x)}= \lim \limits_{x \to 0}\frac{2 \sin^2(3x)}{2 \cos^2(x)}=0 \)

И безо всяких эквивалентных обошлись.

Правило же Лопиталя не дает верного ответа (предел равен -3 ; честно говоря, я впервые встречаюсь с подобным исключением)

Верный ответ 0 доказывают график и ряд Тейлора

[renuar911]

Предел по Лопиталю равен -9. Я забыл тройку учесть.
Очень бы хотелось получить квалифицированное объяснение - почему не всегда это правило работает?

[Данила]

ахахаха....ответ прост.... тут нет неопределенности. cos(0)=1. подставим в предел x=0,получим 0/2. либо в задании опечатка,либо действительно настолько просто.

[CENTRE # 1]

по таблице эквивалентов предел равен -9, препод нам говорит лопиталя не использовать и сказала 1-ым замечательным о_0

[CENTRE # 1]

Непонятно, причем тут первый замечательный. Ведь

\( \lim \limits_{x \to 0}\frac{1-\cos(6x)}{1+\cos(2x)}= \lim \limits_{x \to 0}\frac{2 \sin^2(3x)}{2 \cos^2(x)}=0 \)

И безо всяких эквивалентных обошлись.

Правило же Лопиталя не дает верного ответа (предел равен -3 ; честно говоря, я впервые встречаюсь с подобным исключением)

Верный ответ 0 доказывают график и ряд Тейлора

немного непонял как 0 получился... и как от косинусов к синусам прешели 

[renuar911]

Наиболее распространенные формулы тригонометрии:

\( \sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2} \, ; \qquad \cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2} \)

Посмотрите, хотя бы в ссылка

А ноль получается непосредственной подстановкой x=0. Синус равен нулю, косинус - единице. Ноль делим на 1 и получаем ноль.

И с Лопиталем ясно. Действительно, изначально предел вычисляем для функции, у которой нет неопределенности.