помогите пожалуйста решить три примера (графики,исследование функции)

[bREEdmc]

 

кто может чем-либо помочь в решении,буду очень признателен

[bREEdmc]

1е уже не надо,его решил)

[tig81]

Что не получается в 2 и 3?

[bREEdmc]

я не знаю даже,каким образом решать (

[bREEdmc]

как во втором задании взять вторую проивзодную по ху ?

[bREEdmc]

Правильно я решаю?

\( z={cos^{2}({x+2 y})} ; d^{2}z(0,0)-? \)

\( d^{2}z=f''_{x^2}dx^{2}+2f''_{xy}dxdy+f''_{y^2}dy^{2} \)

\( z'_{x}={\left({{cos^{2}({x+2 y})}}\right)'}=2  \cos(x+2 y) {\left({\cos(x+2 y)}\right)'}=-2  \cos(x+2 y) {\left({x+2 y}\right)'} \sin(x+2 y)=-2  \cos(x+2 y) {({\left({x}\right)'}+{\left({2  y}\right)'})} \sin(x+2 y)=-2  \cos(x+2 y) \sin(x+2 y) \)
\( z'_{y}={\left({{cos^{2}({x+2 y})}}\right)'}=2  \cos(x+2 y) {\left({\cos(x+2 y)}\right)'}=-2  \cos(x+2 y) \sin(x+2 y) {\left({x+2 y}\right)'}=-2  \cos(x+2 y) {({\left({2  y}\right)'}+{\left({x}\right)'})} \sin(x+2 y)=-4  \cos(x+2 y) {\left({y}\right)'} \sin(x+2 y)=-4  \cos(x+2 y) \sin(x+2 y)
 \)
\( z''_{x^2}={\left({{cos^{2}({x+2 y})}}\right)''}={\left({-2  \cos(x+2 y) \sin(x+2 y)}\right)'}=-2  {\left({ \cos(x+2 y) \sin(x+2 y)}\right)'}=-2  \cos(x+2 y) {\left({\sin(x+2 y)}\right)'}-2  \sin(x+2 y) {\left({\cos(x+2 y)}\right)'}=2  {sin^{2}({x+2 y})} {\left({x+2 y}\right)'}-2  {\left({x+2 y}\right)'} {cos^{2}({x+2 y})}=2  {({\left({x}\right)'}+{\left({2  y}\right)'})} {sin^{2}({x+2 y})}-2  {({\left({x}\right)'}+{\left({2  y}\right)'})} {cos^{2}({x+2 y})}=2 {sin^{2}({x+2 y})}-2 {cos^{2}({x+2 y})}
 \)\( z''_{x^2}(0,0)=-2 \)
\( z''_{y^2}={\left({{cos^{2}({x+2 y})}}\right)''}={{{\left({{cos^{2}({x+2 y})}}\right)''}}={{\left({-4  \cos(x+2 y) \sin(x+2 y)}\right)'}}}=-4  {\left({ \cos(x+2 y) \sin(x+2 y)}\right)'}=-4  \cos(x+2 y) {\left({\sin(x+2 y)}\right)'}-4  {\left({\cos(x+2 y)}\right)'} \sin(x+2 y)=4  {sin^{2}({x+2 y})} {\left({x+2 y}\right)'}-4  {cos^{2}({x+2 y})} {\left({x+2 y}\right)'}=-4  {({\left({2  y}\right)'}+{\left({x}\right)'})} {cos^{2}({x+2 y})}+4  {sin^{2}({x+2 y})} {({\left({2  y}\right)'}+{\left({x}\right)'})}=8  {\left({y}\right)'} {sin^{2}({x+2 y})}-8  {\left({y}\right)'} {cos^{2}({x+2 y})}=8 {sin^{2}({x+2 y})}-8 {cos^{2}({x+2 y})} \)\( z''_{y^2}(0,0)=-8 \)

\( z''_{xy}-? \)

Не знаю,как найти эту производную ^

[bREEdmc]

\( z''_{xy}=(-2cos(x+2y)sin(x+2y))' = -2(cos(x+2y)sin(x+2y))'=-2cos(x+2y)(sin(x+2y))'-2(cos(x+2y))'sin(x+2y)= \)
\( =2sin^{2}(x+2y)(x+2y)'-2cos^{2}(x+2y)(x+2y)'=-2((2y)'+(x)')cos^{2}(x+2y)+2sin^{2}(x+2y)((2y)'+(x)')= \)
\( =4(y)'sin^{2}(x+2y)-4(y)'cos^{2}(x+2y)=4sin^{2}(x+2y)-4cos^{2}(x+2y) \)
\( z''_{xy}(0,0)=-4 \)

так?

[bREEdmc]

получилось

\( d^{2}z(0,0)=-2dx^{2}-8dxdy-8dy^{2} \)

может кто-нибудь третье помочь?

[bREEdmc]

чего-то я не понимаю третье

поулчается
функция является параболой, сл. есть минимум, и следовательно при z=0
=>
\( (x+1)^{2}=-4y^{2} \)
равенство выполняться будет только при равенству нулю каждой из частей уравнения, т.к. квадрат выражения >= 0 , а произведения квадрата на отрицательное число будет =< , сл. x=-1 , y=0
точка минимума (-1,0)

по-моему неверно,и очень коротко как-то