Исследовать функцию на непрерывность

[SBG]

Возник такой вопрос.
Вот мой пример:
        x+1, x<=1
f(x)= -x+3, 1<x<=2
        2^-x (два в степени -x), x>2
Так как функция, возможно, прерывна в точках x=1, x=2, нужно исследовать функцию в этих точках...
Вопрос: первую функцию мне нужно исследовать f(1-0), вторую f(1+0), а нужно исследовать третью функцию ведь интервал ее от 2?
И если нужно, то f(1), тогда получится точка x=0.5, что не соответствует графику

[tig81]

Возник такой вопрос.
Вот мой пример:
        x+1, x<=1
f(x)= -x+3, 1<x<=2
        2^-x (два в степени -x), x>2
Так как функция, возможно, прерывна в точках

Имеет разрыв в точках...

Вопрос: первую функцию мне нужно исследовать f(1-0), вторую f(1+0), а нужно исследовать третью функцию ведь интервал ее от 2?

Функция у вас задана одна, просто на трех интервалах. Это так называемая кусочно непрерывная функция.

И если нужно, то f(1), тогда получится точка x=0.5, что не соответствует графику

А откуда х=0.5 взялось?
Если х стремится к 2 слева, это означает, что это почти 2, но меньше 2. Какой из трех промежутков соответствует этому условию?

[SBG]

Вот как я делал:
x=1
f(1-0)=lim(x+1)=2             (x->1-0)
f(1+0)=lim(-x+3)=2           (x->1+0)
f(1)=lim(2^-x)=0,5   (x->1)
f(1-0)=f(1+0)не_равно f(1)
Или что то не так?

[tig81]

Вот как я делал:
x=1
f(1-0)=lim(x+1)=2             (x->1-0)
f(1+0)=lim(-x+3)=2           (x->1+0)

Это верно

f(1)=lim(2^-x)=0,5   (x->1)

Нет. Почему так? В какой промежуток включается 1? Чему на этом промежутке равна функция? Тогда вточке х=1 значение функции чему равно?

[SBG]

Почему так?

Ну я думал так: берем х=1 и считаем f(1-0) для первого интервала, f(1+0) для второго и f(1) для f(x)=2^-x

В какой промежуток включается 1?

От -бесконечности до 1 и от 1 до 2...

Тогда вточке х=1 значение функции чему равно?

В точке x=1, функция равна 2

И все равно не пойму для какого интервала мне нужно считать f(1)?

[tig81]

Ну я думал так: берем х=1 и считаем f(1-0) для первого интервала, f(1+0) для второго и f(1) для f(x)=2^-x

Неправильно думали?

От -бесконечности до 1 и от 1 до 2...

Что-то я не вижу во втором промежутке, что там написано меньше равно, вижу строгий знак неравенства.

В точке x=1, функция равна 2

Да. Только какое вы аналитическое выражение использовали?

И все равно не пойму для какого интервала мне нужно считать f(1)?

Для того, в который 1 включается, а судя по всему, это первый интервал, на котором функция равна х+1.

[SBG]

Да. Только какое вы аналитическое выражение использовали?

Посмотрел по графику)

Для того, в который 1 включается, а судя по всему, это первый интервал, на котором функция равна х+1.

Значит это и все решение будет что ли?

f(1-0)=lim(x+1)=2 (x->1-0)

Потом исследуем при x=2. x=2 входит во второй интервал, значит получим:
f(2+0)=lim(-x+3)=-2+3=1 (x->2+0)

[tig81]

Значит это и все решение будет что ли?

Нет. Вам надо найти односторонние пределы+значение функции в точке.

Скачайте Рябушко, там подобные примеры хорошо расписаны, чтобы посмотреть, что именно надо писать в решении.

[SBG]

В Рябушко всего лишь два решенных примера и то в них функции заданы не на интервалах...

[tig81]

В Рябушко всего лишь два решенных примера и то в них функции заданы не на интервалах...

Смотрите решенные примеры (образцы решения ИДЗ) после типового задания.

[SBG]

Вроде разобрался. Вот, что получилось
Для точки x1=1:
lim f(x)=lim(x+1)=1+1=2   x->1-0
lim f(x)=lim(x+1)=1+1=2   x->1+0
lim f(x)=lim(x+1)=1+1=2   x->1

Для точки x2=2:
lim f(x)=lim(-2+3)=1   x->2-0
lim f(x)=lim(-2+3)=1   x->2+0
lim f(x)=lim(-2+3)=1   x->2

Из того что получилось видно, что нет точек разрыва.

А по графику точка x=2 является точкой разрыва?

[tig81]

Вроде разобрался. Вот, что получилось
Для точки x1=1:
lim f(x)=lim(x+1)=1+1=2   x->1-0
lim f(x)=lim(x+1)=1+1=2   x->1+0
lim f(x)=lim(x+1)=1+1=2   x->1

А почему везде используется выражение х+1? Если х стремится к 1 слева, значит меньше 1, тогда какой это промежуток, а чему там функция равна?
Если х стремится к 1 справа, то он больше 1. Какой это промежуток и чему там равна функция.
Чтобы найти значение функции в точке, надо посмотреть, в какой промежуток включается 1 и посмотреть, чему на этом промежутке равна функция.

[SBG]

Единица включается только в один интервал, в первый, поэтому везде х+1... Или я опять что то не могу понять?!

Что значит "стремится к одному слева" и "...справа"?

[tig81]

Единица включается только в один интервал, в первый, поэтому везде х+1... Или я опять что то не могу понять?!

Нет.

Что значит "стремится к одному слева" и "...справа"?

То, что вы пишите x->1-0, x->1+0
Итак, давайте по порядку. Найдем \( \lim_{x\to 1-0}f(x) \). Это значит, что х стремится к единице слева, т.е. это величина практически 1, но меньше чем 1. Т.е. х тогда принадлежит какому промежутку? На каком промежутке х меньше 1? Каким выражением на этом промежутке определяется функция?

[SBG]

Т.е. х тогда принадлежит какому промежутку? На каком промежутке х меньше 1?

(-беск;1)

Каким выражением на этом промежутке определяется функция?

f(x)=x+1