Как рассчитать предел последовательности...

[SBG]

Напомните, пожалуйста, как рассчитать предел, стремящийся к бесконечности такого типа:

[tig81]

в числителе и знаменателе вынести n.
А также вспомнить, чему равен предел бесконечно малой последовательности.

[SBG]

Спасибо.
Получилось -2

[tig81]

Верно.

[SBG]

И еще для этого примера такое задание:
Найти \( {n}_{0} \), что для всех \( n>{n}_{0} \) выполняется неравенство \( \left|{x}_{n}-a \right|<0.001 \)
Как это делать?

[tig81]

И еще для этого примера такое задание:
Найти \( {n}_{0} \), что для всех \( n>{n}_{0} \) выполняется неравенство \( \left|{x}_{n}-a \right|<0.001 \)
Как это делать?

Надо решить указанное неравенство относительно \( n \), \( {x}_{n} \) у вас задано в первом посте, \( a \) - полученный предел. Подставляйте в неравенство, что получится?

[SBG]

\( \frac{6}{n+1}<0.001 \)

[tig81]

\( \frac{6}{n+1}<0.001 \)

1. Вроде в числителе 7.
2. Решайте полученное неравенство относительно \( n \).

[SBG]

Да, 7
Получилось n>6999

[tig81]

Да, 7
Получилось n>6999

Вроде так.
Тогда в качестве \( n_0 \) берите 7000. И тогда для любого \( n>n_0=7000 \) выполняется указанное неравенство.

[SBG]

Оказывается как просто...
А в качестве \( {n}_{0} \) не 6998 надо брать? Тогда \( n>{n}_{0}=6998 \)

[tig81]

Оказывается как просто...

А в качестве \( {n}_{0} \) не 6998 надо брать? Тогда \( n>{n}_{0}=6998 \)

При 6998 неравенство не выполняется.

[SBG]

n>6999, по условию \( n>{n}_{0} \), если мы возьмем \( {n}_{0}=7000 \), то получится, что \( n<{n}_{0} \)... Или не так?

[tig81]

n>6999, по условию \( n>{n}_{0} \), если мы возьмем \( {n}_{0}=7000 \), то получится, что \( n<{n}_{0} \)... Или не так?

Нет, не так, здесь \( n \) - это натуральное число, тогда промежутку \( (6999; \infty) \) принадлежат какие значения? Если работаете с последовательностями, то отбрасывание конечного числа членов не влияет на характер последовательности.
Т.е. если n>6999, то промежуток n>7000 есть его подмножеством. Т.е. если неравенство выполняется при n>6999, то он выполняется и при n>7000. В качестве \( n_0 \) можно было бы взять и 1000000, на результат это бы никак не повлияло, т.к. нерассматривается конечное число членов.

В качестве \( n_0 \) нельзя брать 6998, т.к. тогда при \( n=6999>n_0=6998 \) исходное неравенство не выполняется.

Как-то так.

[SBG]

Спасибо за разъянение