2 примера на исследование функций

[opax]

1) функция y=((x+2)^2)/(x^2-4)

1.установить область определения функции

D(y):x^2-4!=0
       x!=+/-2
  x принадлежит (-oo;-2)v(-2;2)v(+2;+oo)

2.исследовать на непрерывность

   x=2, x=-2 - точки разрыва

3.определить является функция чётной или нечётной

  функция ни чётная ни нечётная
 
4.определить интервалы возрастания и убывания функции и точки её экстремума

 y'= (-4)/((x-2)^2)

  отсюда x!=2 - критическая точка, экстремум нет получается..?
 

5.определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба

помогите

6.определить асимптоты графика функции

помогите

2) исследовать на экстремум функцию z=f(x,y)

  z=2x-8y-x^2-y^2-9

как я понял нужно находить частные производные, составлять СЛУ и решать.. помогите пожалуйста
если можно подробное решение..

[renuar911]

2) Берем частные производные сначала по x, затем по y и составим систему:

\( \frac{dz}{dx} \, \to \, 2-2x=0 \)

\( \frac{dz}{dy} \, \to \, - 8-2y=0 \)

Отсюда легко: x=1 ;  y=-4

То есть, экстремальное значение z будем наблюдать над точкой (1;-4).
Если эти значения подставить в уравнение для z то получим его максимальную величину.

[opax]

2) исследовать на экстремум функцию z=f(x,y)

  z=2x-8y-x^2-y^2-9

1) нашел частные производные
   
    z'(x)=2-2x
    z'(y)=-8-2y

2) составил систему и нашёл x  и y
   
    x=1 , y=-4    Mo=(1;-4) стационарная точка.

3) нашёл вторые производные чтобы проверить достаточное условие

   z''(xx)=-2   =A
   z''(yy)=-2   =C
   z''(xy)=0     =B

D=AC-(B^2)
 D=4, D>0
 A<0

отсюда следует что в точке Мo функция имеет экстремум - максимум
значение функции в этой точке равно
z=2*1-8*(-4)-(1^2)-(-4^2)-9=8

подскажите... всё верно?

   

   

[tig81]

Похоже на правду.

[opax]

1) функция y=((x+2)^2)/(x^2-4)

ссылка

1.установить область определения функции

D(y):x^2-4!=0
       x!=+/-2
  x принадлежит (-oo;-2)v(-2;2)v(+2;+oo)

2.исследовать на непрерывность

   x=2, x=-2 - точки разрыва

3.определить является функция чётной или нечётной

  функция ни чётная ни нечётная
 
4.определить интервалы возрастания и убывания функции и точки её экстремума

нашёл производную, приравнял к нулю дальше что делать..

5.определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба

6.определить асимптоты графика функции

[Asix]

График Вы можете построить при помощи нашей программы:
Построение графиков функций онлайн

[tig81]

1) функция y=((x+2)^2)/(x^2-4)

ссылка

Вы в числителе знак "+" пропустили

1.установить область определения функции
D(y):x^2-4!=0
       x!=+/-2

А что за восклицательный знаки? Что они обозначають?

2.исследовать на непрерывность
x=2, x=-2 - точки разрыва

Какого рода?

3.определить является функция чётной или нечётной
 функция ни чётная ни нечётная

да
 

4.определить интервалы возрастания и убывания функции и точки её экстремума

нашёл производную, приравнял к нулю дальше что делать..

Ч то получилось?
Надо найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

5.определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба

тут что не получается?

6.определить асимптоты графика функции[/b]

Какие асимптоты могут быть у графика функции?

[opax]

да в числителе пропустил знак..,  логическое отрицание это (!= - неравно) ,разрыв 2-ого рода неустранимый, в производной из под 2 степени вытаскиваю выражение и получаю что х не равен 2, я просто не помню как вычислять.. помню что нужно брать пределы помоему слева справа сверху.. еще что-то.. как я понял в производной экстремумы отсутствуют есть лишь одна критическая точка.. там еще помоему надо 2-ую производную брать..я не помню алгоритма решения..

[opax]

поэтому и прошу помочь мне, не нужно подробное решение, я решу сам.. мне порядок действий бы так сказать

[tig81]

да в числителе пропустил знак..,

поэтому там вроде перестроилось

логическое отрицание это (!= - неравно)

теперь понятно

разрыв 2-ого рода неустранимый

да

в производной из под 2 степени вытаскиваю выражение и получаю что х не равен 2

показывайте, чему равна производная

я просто не помню как вычислять.. помню что нужно брать пределы помоему слева справа сверху.. еще что-то..

что именно вычислять? Для определения критических точек?

как я понял в производной экстремумы отсутствуют есть лишь одна критическая точка..

сложно сказать, не видя самого решения и нахождения критических точек.

там еще помоему надо 2-ую производную брать..я не помню алгоритма решения..

Надо, как раз для вашего пункта 5.

[opax]

производная равна  -4/(x-2)^2  
с 4 пунктом доразобраться и 5,6 сделать осталось..

[tig81]

производная равна  -4/(x-2)^2 

1. Находим точки, в которых производная равна нулю: -4/(x-2)^2=0. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Числитель нулю не равен для любой точки из области определения функции.
2. Находим точки, в которых производная не существует. В данном случае это точки, в которых знаменатель обращается в 0: х=2.

Далее рисуется координатная прямая, находятся точки, полученные в пунктах 1 и 2, и на каждом полученном промежутке определяется знак производной.

[opax]

знак до точки 2 (-) после (+) производная меняет знак но точка 2 не является экстремум, так как у нас в ней разрыв неустранимый..

[opax]

...

[tig81]

знак до точки 2 (-) после (+)

Как определяли?

П.С. И по идее точка х=-2 не будет точкой разрыва второго рода.