Пмогите решить задачи по рядам

[Natalia_knp]

Здравствуйте. Уже бьюсь несколько дней с задачами. Помогите пожалуйста:.
Ряд: Сумма от 1 до бесконечности (-1)^n ln((n+1)/n) -исследовать на сходимость
     Я решаю так: По признаку сравнения в предельной форме решаю предел, где Bn = ln(1/n) и получаю что предел равен 0. Это означает что ряд сходится.  Теперь надо выяснить как - абсолютно или условно. подскажите правильно или нет. и как дорешать.

Заранее спасибо

[tig81]

Здравствуйте. Уже бьюсь несколько дней с задачами. Помогите пожалуйста:.
Ряд: Сумма от 1 до бесконечности (-1)^n ln((n+1)/n) -исследовать на сходимость

1. Ряд знакопеременный, поэтому работает теорема Лейбница

По признаку сравнения в предельной форме решаю предел, где Bn = ln(1/n) и получаю что предел равен 0.

Что с чем сравниваете в передельной форме и как получили Bn? Подробнее, пожалуйста, покажите решение.

[Natalia_knp]

Изначально решала так: По признаку Лейбница члены знакочередующего ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, то данный ряд сходится. И теперь осталось выяснить, как сходиться абсолютно или условно. Для этого воспользуемся интегральным признаком Коши:
интергал был равен бесконечности. Следовательно, искомый ряд сходится условно

Препод сказала: Проверка признала Лейбница? И как вы интеграл находите? примените предельный признак сравнения.

По поводу Bn он же должен быть больше Аn . Поэтому взяла ln(1/n) а An=ln((n+1)/n) потом ищу предел Аn/Bn

[tig81]

И теперь осталось выяснить, как сходиться абсолютно или условно. Для этого воспользуемся интегральным признаком Коши: интергал был равен бесконечности. Следовательно, искомый ряд сходится условно

Какой конкретно интеграл? Интегральный признак применяете к ряду, составленному из абсолютных величин?

Препод сказала: Проверка признала Лейбница? И как вы интеграл находите? примените предельный признак сравнения.

Преподаватель прав, к заданному ряду (члены по модулю) "в лоб" интегральный признак применить затруднительно.

По поводу Bn он же должен быть больше Аn . Поэтому взяла ln(1/n) а An=ln((n+1)/n) потом ищу предел Аn/Bn

Немного не поняла. И сразу вопрос возник, \( A_n=\frac{\ln{(n+1)}}{n} \) или \( A_n=\ln{\frac{n+1}{n}} \)?

[Natalia_knp]

Интеграл применяю к абсолютной величине, т.е. без (-1)^n
по поводу An то моя вторая

[tig81]

Показывайте как вычисляли несобственный интеграл.

[Natalia_knp]

вот мое решение

[tig81]

Не поняла, как получили выражение после первого знака равенства.

[Natalia_knp]

Вот перерешала интеграл и получила новый предел

ВО вложении

[Natalia_knp]

Помогите хотя бы описать что за чем надо делать. Т.е. первое я применяю предельный признак сравнения. Оно в первом вложении.
По признаку сравнения в предельной форме ряды  А  и В сходятся одновременно.
Теперь необходимо выяснить абсолютно или относительно. Для этого применяю интегральный признак коши к интегралу В. Или надо к А?
Я думаю что к В. Поэтому получаем решая интеграл (см вложение 2)
Следовательно ряд В - расходится.
Значит ряд сходится относительно.
Так? или бред полный?

[tig81]

Интеграл равен бесконечности, все вычисление не смотрела, но идея верная. Но в таком случае зачем применять предельный признак, мне не совсем понятно, если интегральный признак Коши дает результат.

[Natalia_knp]

Училка сказала что надо его применить. Вот и ломаю говолу.
Получается правильно сделать так: применить интегральный признак Коши. по нему равен бесконечности-  следовательно ряд расходится. Правильно?
А к чему тогда применить этот предельный признак

[tig81]

Училка сказала что надо его применить. Вот и ломаю говолу.

Ну сравните с рядом \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \)

Получается правильно сделать так: применить интегральный признак Коши. по нему равен бесконечности-  следовательно ряд расходится. Правильно?

Да

А к чему тогда применить этот предельный признак

Вы у нас спрашиваете? Спросите у своего преподавателя.   Возможно это типа дополнительного вопроса для сдачи задания?!

[Natalia_knp]

Хорошо спасибо.

И в итоге получается ряд расходится. Правильно?

[tig81]

Судя по всему, сходится, но условно, т.к. изначально знакопеременный ряд был задан.