Помогите решить тригонометрическое уравнение с помощью Формул

[Сибиряк]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить Тригонометрическое уравнение с помощью Формул двойного аргумента или Формул понижения степени.

4 sin 2x + 8 (sin x - cos x) = 7.

Заранее Спасибо!  

[Asix]

Что Вы делали и что не получается?
Какие есть свои мысли?? =))

Для начала нам интересны Ваши мысли и действия для решения задачи, дальше мы обязательно поможем и подталкнем =))

Все тригонометрические формулы и их смысл вы найдете здесь - Тригонометрические формулы

[renuar911]

Очень понравилась задача, поэтому попробую. Легко получить:

\( sin(x) cos(x)+sin(x)-cos(x)=\frac{7}{8} \)

Делаем такие тригонометрические замены:

\( sin(x)=\frac{2tg(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})} \quad \to \, tg(\frac{x}{2})=t \quad \to \, \frac{2t}{1+t^2}  \)

\( cos(x)=\frac{1-tg^2(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})}\quad \to \, tg(\frac{x}{2})=t \quad \to \, \frac{1-t^2}{1+t^2} \)

Подставляем в уравнение, упрощаем и получим:

\( \frac{t^4+4t-1}{(1+t^2)^2}=\frac{7}{8} \)

Решая это непростое уравнение, будем иметь 2 действительных и 2 комплексных корня:

\( t_{1,2}=-2 \pm \sqrt{7} \qquad  t_{3,4}=2 \pm i \)

Обратными подстановками можно найти 4 корня для x