Помогите вычислить определенный интеграл

[Евгения К.]

Здравствуйте!
Пожалуйста, помогите решить задание:
∫_1^(∛2)▒2^(x^3-1) *x^2 dx (определенный интеграл, сверху: кубический корень из двух, снизу:единица. Выражение: Два в степени (икс в кубе минус один) умножено на икс в квадрате и умноженное на dx)

Я начала решать методом замены переменной, получила:
t=x^3-1 ; dt=3*x^2*dx отсюда x^2*dx=dt\3
Полученные данные подставила в формулу:
∫f(x)dx=∫f[j(t)]*j`(t)*dt (Букву заменила j, т.к. не нашла на стандартной клавиатуре.. обращаюсь первый раз)
получили:∫1\3*2^t*dt=1\3∫2^t*dt=1\3*2^t\ln2=2^t\3*ln2

а с этого момента- тупик.. И ещё не уверена что мною сделанное верно.
Проверьте, пожалуйста. Буду очень признательна если подтолкнете в нужном направлении

[testtest]

\( \int\limits_1^{\sqrt[3]{2}} 2^{x^3-1} \cdot x^2dx = \frac13\int\limits_1^{\sqrt[3]{2}} 2^{x^3-1} \cdot d\left(x^3-1\right) = \frac1{3\ln 2}\int\limits_1^{\sqrt[3]{2}} 2^{x^3-1} \cdot \ln 2 \cdot d\left(x^3-1\right) = \frac1{3\ln 2}\left.2^{x^3-1}\right|_1^{\sqrt[3]{2}} = \frac1{3\ln 2}(2 - 1) = \frac1{3\ln 2} \)

[Евгения К.]

\( \int\limits_1^{\sqrt[3]{2}} 2^{x^3-1} \cdot x^2dx = \frac13\int\limits_1^{\sqrt[3]{2}} 2^{x^3-1} \cdot d\left(x^3-1\right) = \frac1{3\ln 2}\int\limits_1^{\sqrt[3]{2}} 2^{x^3-1} \cdot \ln 2 \cdot d\left(x^3-1\right) = \frac1{3\ln 2}\left.2^{x^3-1}\right|_1^{\sqrt[3]{2}} = \frac1{3\ln 2}(2 - 1) = \frac1{3\ln 2} \)

Если честно, знания у меня не особо выдающиеся.. Не могу понять каким методом Вы решали? Я для себя, чтоб разобраться..

[testtest]

внес \( \frac{x^3}{3} \) под знак дифференциала, т.к. \( \dfrac{d\left(\frac{x^3}{3}\right)}{dx} = x^2 ~~\Rightarrow ~~x^2dx = d\left(\frac{x^3}{3}\right) \) потом вынес постоянный множитель \( \frac13 \) за интеграл, потом в дифференциале вычел 1 (все равно \( d(t-C) = dt \), где \( C \) - константа). потом умножил и разделил на \( \ln 2 \), чтобы под интегралом получить производную показательной функции с основанием 2.
всё, собственно.

[Евгения К.]

\( \int\limits_1^{\sqrt[3]{2}} 2^{x^3-1} \cdot x^2dx =  \)
Здесь мы заменили \( t=x^3-1 , dt=3x^2dx \) (производная от t)
Вот с этого места нужно решить именно методом замены переменной.. для чайников.. как я..) Если возможно, можете помочь?

[Asix]

Вот полезный теоретический материал для решения интегралов:
Таблица интегралов
Свойства интегралов
Формулы интегрирования

[Евгения К.]

Спасибо, но прежде чем создать тему, просматривала подобные. По этому материалу уже смотрела. Хотелось бы узнать- по способу, который я описала в самом начале, решение может существовать?  И если да, то что мне нужно найти далее?
Извините, повторюсь:
Я начала решать методом замены переменной, получила:
\( t=x^3-1 ; dt=3*x^2*dx \) отсюда \( x^2*dx=dt/3 \)
Полученные данные подставила в формулу:
\( \int\limits_1^{\sqrt[3]{2}}f(x)dx=\int\limits_1^{\sqrt[3]{2}}f[j(t)]*j`(t)*dt \) (Букву заменила j, т.к. не нашла на стандартной клавиатуре.. обращаюсь первый раз)
получили:\( \int\limits_1^{\sqrt[3]{2}}1/3*2^t*dt=1/3\int\limits_1^{\sqrt[3]{2}}2^t*dt=1/3*2^t/ln2=2^t/3*ln2 \)
Или таким путем пойти будет неправильным? Допустила уже где-то ошибку?

[Евгения К.]

Все дошло, спасибо Вам огромное testtest! Очень благодарна, плюсик поставила)