Корень из комплексного числа

[Walker]

\( \sqrt{z}=\sqrt[3]{8}(cos\frac{\sqrt{\pi }}{2}+sin\frac{\sqrt{\pi }}{2}) \) верно? или опять я не так делаю? 

[tig81]

Запишите формулу Муавра. Не то. Непонятно, почему из 8 уже корень кубический извлекается? И откуда у тригонометрии такой аргумент взялся, тоже неясно.

[Walker]

\( z=r(cos\phi +isin\phi ) \)

[Walker]

\( \sqrt{z}=\sqrt[3]{8}(cos\frac{\sqrt{\pi }}{2}+sin\frac{\sqrt{\pi }}{2}) \) верно? или опять я не так делаю? 

\( \sqrt{z}=\sqrt[4]{8}(cos\frac{\frac{\pi }{4}}{2}+isin\frac{\frac{\pi }{4}}{2}) \) немного исправил

[tig81]

\( \sqrt{z}=\sqrt[4]{8}(cos\frac{\frac{\pi }{4}}{2}+isin\frac{\frac{\pi }{4}}{2}) \)

\( \sqrt{z}=\sqrt[4]{8}(\cos\frac{\frac{\pi }{4}+2\pi k}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi }{4}+2\pi k}{2}), k=0, 1 \)

[Walker]

у меня не получается корень при k=1

\( \sqrt{z}=(\cos\frac{\frac{\pi }{4}+2\pi (1)}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi }{4}+2\pi (1)}{2})=(\cos\frac{9\pi }{2}+i\sin\frac{9\pi }{2}) \)

[tig81]

\( \sqrt{z}=(\cos\frac{\frac{\pi }{4}+2\pi (1)}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi }{4}+2\pi (1)}{2})=(\cos\frac{9\pi }{2}+i\sin\frac{9\pi }{2}) \)

аргумент у косинуса и у синуса вроде не такой получится

[Walker]

вместо 4, 8 ?

[tig81]

\( w_k=\sqrt{z}=\sqrt[4]{8}(\cos\frac{\frac{\pi }{4}+2\pi k}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi }{4}+2\pi k}{2}), k=0, 1 \)
\( k=0: \)
\( w_0=\sqrt[4]{8}(\cos\frac{\frac{\pi }{4}}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi }{4}}{2})=\sqrt[4]{8}(\cos\frac{\pi }{8}+i\sin\frac{\pi}{8}) \)
\( k=1: \)
\( w_1=\sqrt[4]{8}(\cos\frac{\frac{\pi }{4}+2\pi}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi }{4}+2\pi}{2})=... \)

[Walker]

\( w_1=\sqrt[4]{8}(\cos\frac{\frac{\pi }{4}+2\pi}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi }{4}+2\pi}{2})=\sqrt[4]{8}(\cos\frac{9\pi }{8})+(\sin\frac{9\pi }{8}) \)  запутался немного 

[tig81]

Верно, только сумму косинуса и синуса надо в скобочки.
Это задание можно было сделать и иначе:
\( \sqrt{2+2i}=a+bi \)
\( 2+2i=(a+bi)^2 \)
\( 2+2i=a^2+2abi-b^2 \)
Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части соответственно.

[Walker]

спасибо большое за помощь 

[tig81]

Пожалуйста!