Дифуры :( Найти все решения, исследовать особые решения и нарисовать

[sir. Andrey]

Найти все решения, исследовать особые решения и нарисовать качественную картину поведения интегральных кривых: \( y'^3+y^2=yy'(y'+1) \)
\( p^3+y^2=yp(p+1) \)
\( y^2-p(p+1)y+p^3=0 \)
\( D=p^2(p+1)^2-4p^3 \)


\( y_1=\frac{p(p+1)-\sqrt{p^2(p+1)^2-4p^3}}{2}=\frac{p}{\sqrt{2}} \Rightarrow  dy=\frac{dp}{\sqrt{2}} \)
\( dx=\frac{dp}{\sqrt{2}p} \Rightarrow  x=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln{|p|}+C_1 \)
\( \ln{p}=(x-C_1)\sqrt{2} \)
\( p=e^{(x-C_1)\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}x}C_1 \)
\( y'=e^{\sqrt{2}x}C_1  \Rightarrow  y=\frac{1}{\sqrt{2}}C_1e^{\sqrt{2}x} \)


\( y_2=\frac{p(p+1)+\sqrt{p^2(p+1)^2-4p^3}}{2}=p^2 \)
\( dy=2pdp  \Rightarrow  dx=2dp  \Rightarrow   x=2p+C_2 \)
\( p=\frac{x-C_2}{2}\Rightarrow y'=\frac{x-C_2}{2} \Rightarrow y=\frac{1}{2}(\frac{x^2}{2}-C_2x) \)

первый график:

второй график:


Но факт в том, что нужно нарисовать одну картину!

[Dlacier]

\( y'^3+y^2=yy'(y'+1) \)
\( p^3+y^2=yp(p+1) \)
\( y^2-p(p+1)y+p^3=0 \)
\( D=p^2(p+1)^2-4p^3 \)

Дальше временами не понимаю, что делаешь и зачем.

1.

\( y_1=\frac{p(p+1)-\sqrt{p^2(p+1)^2-4p^3}}{2}=\frac{p}{\sqrt{2}}  \)

Проверь еще раз, должно получиться
\( y=p \)
\( \frac{dy}{dx}=y \)
\( y=C_1e^x \)

2.

\( y_2=\frac{p(p+1)+\sqrt{p^2(p+1)^2-4p^3}}{2}=p^2 \)

Это верно, а дальше...
\( p=\pm\sqrt y \)
\( \frac{dy}{dx}=\pm\sqrt y \)
\( y=\frac{1}{4}(x\pm C_2)^2 \)

[sir. Andrey]

Проверь еще раз, должно получиться
\( y=p \)
\( \frac{dy}{dx}=y \)
\( y=C_1e^x \)

Не может быть!!!
\( y_1=\frac{p(p+1)-\sqrt{p^2(p+1)^2-4p^3}}{2}=\frac{p(p+1-\sqrt{p+2p+1-4p})}{2}=\frac{p(p+1-p+1)}{2}=
\frac{p}{\sqrt{2}}  \)

А на счет второго, не могу у себя найти ошибку, способ другой, но вроде правильный!!!

[Dlacier]

\( \frac{p(p+1-p+1)}{2}=\frac{p}{\sqrt{2}}  \)

\( \frac{p(p+1-p+1)}{2}=\frac{2p}{2}= ? \)

[sir. Andrey]

\( \frac{p(p+1-p+1)}{2}=\frac{p}{\sqrt{2}}  \)

\( \frac{p(p+1-p+1)}{2}=\frac{2p}{2}= ? \)

Блиииин... Вот незадача    Как так...

[Dlacier]

Блиииин... Вот незадача    Как так...

Невнимательность )))

[sir. Andrey]

Парадокс, как может быть y=p, когда мы делаем замену y'=p  

\( y_2=\frac{p(p+1)+\sqrt{p^2(p+1)^2-4p^3}}{2}=p^2 \)
\( dy=2pdp  \Rightarrow  dx=2dp  \Rightarrow   x=2p+C_2 \)
\( p=\frac{x+C_2}{2}\Rightarrow y'=\frac{x+C_2}{2} \Rightarrow y=\frac{1}{4}(\frac{(x+C_2)^2}{2}) \)

Кстати у меня без плюс минуса получилось!  

[Dlacier]

Парадокс, как может быть y=p, когда мы делаем замену y'=p  

Андрей, я же все расписала уже.
Нет там никакого парадокса.
\( y^\prime -y=0 \) такая запись тебя не смущает?

[sir. Andrey]

А с графиками что делать??
Их два и должно быть??

[Dlacier]

Уравнение кубическое, поэтому три.)

[sir. Andrey]

Уравнение кубическое, поэтому три.)

А третье откуда брать??
И еще вопрос, это и есть интегральные кривые?
И интегральная кривая ну ни как ни хочет находиться.
Как я понимаю, интегральная кривая - это и есть особое решение, иогда кроме инт. кривой что явл. особым решением?

[Dlacier]

Уравнение кубическое, поэтому три.)

А третье откуда брать??

Посмотри внимательно решение под пунктом 2, там \( \pm \).

И еще вопрос, это и есть интегральные кривые?
И интегральная кривая ну ни как ни хочет находиться.
Как я понимаю, интегральная кривая - это и есть особое решение, иогда кроме инт. кривой что явл. особым решением?

"Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределённого интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых y = F(x) + C, где каждому числу С соответствует определенная кривая семейства. График каждой кривой и называется интегральной кривой."

[sir. Andrey]

Это получается третий график, там где присутствует минус!


Как я понимаю, у первого графика особого решения нет!
У второго и третьего y=0

А как его исследовать??
И как найти особые точки, че то вообще не могу разобраться! 

[Dlacier]

Замена была такая \( \frac{dy}{dx}=p \), поэтому как из того, что \( y=p \), получилось это

\( dy=2pdp  \Rightarrow  dx=2dp  \Rightarrow   x=2p+C_2 \)

не понимаю.

[Dlacier]

По сути, второе и третье решения можно получить одно из другого и для них график будет такой, который ты изобразил в предыдущем сообщении.

И да, для них осбым решением будет \( y=0 \).
На сколько я помню, особое решение, это решение, в каждой точке которого нарушается единственность.
И если семейство интегральных кривых имеет огибающую, то она всегда является решением и притом особым.

Рис 1 - первое решение.
Рис 2 - второе решение.