Исследовать ряд на сходимость

[настена]

\( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+2)!}{(n!\cdot2^{n})} \)
\( R=\lim_{n\to\infty}\begin{vmatrix}\frac{a_{n}}{a_{n}+1}\end{vmatrix} \)
\( R=\lim_{n\to\infty}\frac{2(n+1)+2)!}{(n+1)!\cdot2^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)!\cdot(n+1)!\cdot2^{n+1}}{2^{n}\cdot(n!)\cdot(2n+4)!}= \)
\( =\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+4-2)!\cdot(n+1)}{n!\cdot(2n+4)}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+4)!\cdot(n+1)!}{n!\cdot(2n+4)}-\frac{2!\cdot(n+1)!}{n!\cdot(2n+4)} \)
Cокращаю, затем делю на \( (n+1) \)  и получаю, что R=-1  И тут возникает подозрение,что я неправильно высчитала предел...Помогите разобраться!

[tig81]

Вы находите радиус сходимости степенного ряда (не ясно какого) или используете признак Даламбера?

[настена]

Вы находите радиус сходимости степенного ряда (не ясно какого) или используете признак Даламбера?

Я не в ту темку заглянула(((В общем, я использую признак Даламбера, т.е. \( \lim _{n\to\infty}\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=l \)
Если l меньше 1, то ряд сходится, у меня получилось "-1", следовательно, ряд сходится...У меня проблема в том, что я не уверена, что правильно нашла предел...

[tig81]

Может я чего-то не увидела, но мне кажется, что вы его неправильно составили.
Запишите, чему у вас равно \( U_{n} \), \( U_{n+1} \). Найдите отношение \( \frac{U_{n+1}}{U_{n}} \)

[настена]

Уф...посчитала заново...\( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!\cdot2^{n})}{(2n+2)!} \)
\( l=\lim_{n\to\infty}\begin{vmatrix}\frac{U_{n}+1}{U_{n}}\end{vmatrix} \)
\( l=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!\cdot2^{n+1}\cdot(2n+2)!}{(2\cdot(n+1)+2)!\cdot{n!}\cdot2^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)!\cdot2^{n+1}\cdot{(n+1)}!}{(2n+2)!\cdot{n!}\cdot2^{n}+2!\cdot{n!}\cdot2^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}\cdot2\cdot{(n+1)!}}{n!\cdot2^{n}\cdot(1+2!)}=\lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot(n+1)!}{3\cdot{n!}}=2 \)
перед предпоследним "=" делю на \( (n+1)! \) и числитель и знаменатель и получаю, что R=2  И тут возникает подозрение,что я неправильно высчитала предел...Помогите разобраться!

[tig81]

\( l=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!\cdot2^{n+1}\cdot(2n+2)!}{(2\cdot(n+1)+2)!\cdot{n!}\cdot2^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)!\cdot2^{n+1}\cdot{(n+1)}!}{(2n+2)!\cdot{n!}\cdot2^{n}+2!\cdot{n!}\cdot2^{n}} \)

Откуда в знаменателе после второго равно получилась сумма? Где делся множитель (2n+4)!?

[настена]

\( l=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!\cdot2^{n+1}\cdot(2n+2)!}{(2\cdot(n+1)+2)!\cdot{n!}\cdot2^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)!\cdot2^{n+1}\cdot{(n+1)}!}{(2n+2)!\cdot{n!}\cdot2^{n}+2!\cdot{n!}\cdot2^{n}} \)

Откуда в знаменателе после второго равно получилась сумма? Где делся множитель (2n+4)!?

А разве нельзя разложить множитель (2n+4) из произведения  \( (2n+4)!\cdot{n!}\cdot2^{n} \) на сумму \( (2n+2)!\cdot{n!}\cdot2^{n}+2!\cdot{n!}\cdot2^{n} \) Вообще про факториал только читала, на парах один раз произнесли это слово и на этом изучение темы закончилось, поэтому как им пользоваться не особо понимаю.

[tig81]

А разве нельзя разложить множитель (2n+4) из произведения  \( (2n+4)!\cdot{n!}\cdot2^{n} \) на сумму \( (2n+2)!\cdot{n!}\cdot2^{n}+2!\cdot{n!}\cdot2^{n} \)

Т.е. знак факториала вы не учитывали? Нельзя.

Вообще про факториал только читала, на парах один раз произнесли это слово и на этом изучение темы закончилось, поэтому как им пользоваться не особо понимаю.

Посмотрите информацию в сети. Т.к. вы делали, делать нельзя.
Например, \( n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot n \)
\( \frac{(n+1)!}{n!}=n+1 \), т.к. \( \frac{(n+1)!}{n!}=\frac{n!(n+1)}{n!}=... \)

[настена]

А разве нельзя разложить множитель (2n+4) из произведения  \( (2n+4)!\cdot{n!}\cdot2^{n} \) на сумму \( (2n+2)!\cdot{n!}\cdot2^{n}+2!\cdot{n!}\cdot2^{n} \)

Т.е. знак факториала вы не учитывали? Нельзя.

Вообще про факториал только читала, на парах один раз произнесли это слово и на этом изучение темы закончилось, поэтому как им пользоваться не особо понимаю.

Посмотрите информацию в сети. Т.к. вы делали, делать нельзя.
Например, \( n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot n \)
\( \frac{(n+1)!}{n!}=n+1 \), т.к. \( \frac{(n+1)!}{n!}=\frac{n!(n+1)}{n!}=... \)

а вынести из суммы (2n+2)!  за скобку "2!" можно?

[tig81]

а вынести из суммы (2n+2)!  за скобку "2!" можно?

нет

[Astro]

а вынести из суммы (2n+2)!  за скобку "2!" можно?

нет

Разве?
UPD: Сорри, не досмотрел факториал.

[tig81]

UPD: Сорри, не досмотрел факториал.

[настена]

Как же мне сократить  \( \lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)!\cdot2^{n+1}\cdot(n+1)!}{(2n+4)!\cdot{n!}\cdot2^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)!\cdot2\cdot(n+1)!}{(2n+4)!\cdot{n!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)!\cdot2\cdot(n+1)}{(2n+4)!} \)  ?

[tig81]

Как же мне сократить  \( \lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)!\cdot2^{n+1}\cdot(n+1)!}{(2n+4)!\cdot{n!}\cdot2^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)!\cdot2\cdot(n+1)!}{(2n+4)!\cdot{n!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)!\cdot2\cdot(n+1)}{(2n+4)!} \)  ?

Посмотреть свойства:
\( (2n+4)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot (2n)\cdot(2т+1)\cdot(2n+2)\cdot(2n+3)\cdot(2n+4)=... \)Как через \( (2n+2)! \) можно записать?

[Dimka1]

(2n+4)!=(2n+4)(2n+3)(2n+2)!