Исследовать функцию и построить график, арктангенс

[Донч@нка]

По ходу решения добавлю свои действия.
Исследовать функцию и построить график
f(x) = x - arctg x

Решение:
1.Область опредения функции D(f) = (-беск, +беск)
Множество значений Е(f) = (-беск, +беск)
2. f(-x) = x-arctg x = -x+arctg x = -f(x) функция нечетная
3. Функция не периодична
4. если х=0, то и у=0; (0;0) точка пересечения с осями
5. на (-беск;0) отрицательна, на отрезке (0; +беск) положительна.

Посмотрите, пожалуйста, все ли пока верно?

[Dlacier]

2. f(-x) = x-arctg x = -x+arctg x = -f(x) функция нечетная

Нет. Как так?
Остальное верно.

[Донч@нка]

2. f(-x) = x-arctg x = -x+arctg x = -f(x) функция нечетная

Нет. Как так?
Остальное верно.

f(-x) = -x-arctg (-x) = -x+arctg x = -f(x) Кажется так. И в справочнике написано, что арктангенс нечетный

[Dlacier]

Функция нечетная, это верно. Только со знаками вы намудрили.

f(-x) = x-arctg x = -x-arctg (-x) = -x+arctg x = -f(x) Кажется так. И в справочнике написано, что арктангенс нечетный

То, что красным, это откуда?
Если это убрать, то все верно.
Делайте дальше.)

[Asix]

Я думаю, что это просто опечатка =))

[Dlacier]

Я думаю, что это просто опечатка =))

:-) которая уже исправлена)

Донч@нка, находите промежутки возрастания/убывания, экстремумы

[Донч@нка]

Я думаю, что это просто опечатка =))

:-) которая уже исправлена)

Донч@нка, находите промежутки возрастания/убывания, экстремумы

Делаю в том порядке, в каком написано в методичке.

[Dlacier]

Делаю в том порядке, в каком написано в методичке.

Здорово.

[Донч@нка]

6. Вертикальной асимтоты, как я понимаю нет.
    Наклонная асимптота

очень похож на замечательный предел, и он равен единице?
тогда

А дальше мысли заканчиваются

[Dlacier]

6. Вертикальной асимтоты, как я понимаю нет.
    Наклонная асимптота

\( k=\lim_{x\to\pm \infty} \left(1-\frac{\arctan x}{x}\right)=\{\arctan x \quad ogranichen,\,\, znachit,\,\, vtoroe\,\,slagaemoe\,\,stremitsa\,\,k\,\,nuly\}=1 \)
Замечательный предел здесь не причем.)

тогда

А дальше мысли заканчиваются

\( b=\lim_{x\to\pm \infty} \arctan x=\pm \frac{\pi}{2} \)

[Донч@нка]

2 наклонные асимптоты: x+П/2 и х-П/2

7. находим точки экстремума
\( f^\prime(x)=(x-arctg x)^\prime=1-\frac{1}{1+x^2} \)
она будет одна x=0

на отрезке (-беск;0) \( f^\prime(x) \) полож, ф-ция возрастает
в нуле - ноль
на отрезке (0;+беск) \( f^\prime(x) \) полож, ф-ция возрастает

так вообще возможно?

[Dlacier]

2 наклонные асимптоты: x+П/2 и х-П/2

Верно.

7. находим точки экстремума
\( f^\prime(x)=(x-arctg x)^\prime=1-\frac{1}{1+x^2} \)
она будет одна x=0

Это точка подозрительная на экстремум.

на отрезке (-беск;0) \( f^\prime(x) \) полож, ф-ция возрастает
в нуле - ноль
на отрезке (0;+беск) \( f^\prime(x) \) полож, ф-ция возрастает

так вообще возможно?

Возможно. Более того, это означает, что точка x=0, не является точкой экстремума.

[Донч@нка]

Возможно. Более того, это означает, что точка x=0, не является точкой экстремума.

Да, теперь я увидела, тогда она просто критическая.

8. \( f^\prime^\prime(x)=(1-\frac{1}{1+x^2})^\prime=(1-(1+x^2) ^{-1})^\prime=2x(1+x^2)^{-2}=\frac{2x}{(1+x^2)^2} \)

на отрезке (-беск;0) \( f^\prime^\prime(x) \) отриц, выпуклость вверх
на отрезке (0;+беск) \( f^\prime^\prime(x) \) полож, выпуклость вниз

Все верно?

[Dlacier]

Да.)

[Донч@нка]

Огромное спасибо за помощь!