Нахождение интегралов

[настена]

Вычислить интеграл x*sqrt(x^2-1)   в он-лайн калькуляторе получилось так:
∫ dx = (sqrt(x-1)*sqrt(x+1)*(x^2-1))/3,  а у меня  ∫x*sqrt(x^2-1) dx = ∫ (x^3-x)^0.5 dx = (2*sqrt(x^3-x)^3)/3   Подозреваю, что раз подынтегральная функция сложная, то надо еще на что-то домножить...не на x^4/4, так?

[tig81]

Показывайте полное свое решение!
Набирайте формулы в ТеХе.

P.S. Вот полезный теоретический материал для решения интегралов:
Таблица интегралов
Свойства интегралов
Формулы интегрирования

[Asix]

Используйте TEX для написания формул, так формулы лучше воспринимаются!
Дробь - \frac{ числитель }{ знаменатель }
Степень - ^{ то что в степени }
Нижний индекс - _{ то что в индексе }
Квадратный корень - \sqrt{ то что под корнем }
Производная (штрих) - ^\prime
Умножение - \cdot
Интеграл - \int
Бесконечность - \infty

Например,   \( \lim_{x \to \infty} \) запись будет иметь вид \lim_{x \to \infty}

Формулы заключать нужно в [tex ] [/tex] и нельзя при написании формул использовать кириллицу.
Перед всеми функциями необходимо писать слеш \.

[sir. Andrey]

Да тут все элементарно! 
Распишу по подробней! 

\( \int{x\sqrt{x^2-1}}  dx=\frac{1}{2}\int{\sqrt{x^2-1}}d(x^2-1)=\frac{1}{2}\frac{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \)

[tig81]

\( \int{x\sqrt{x^2-1}}  dx=\frac{1}{2}\int{\sqrt{x^2-1}}d(x^2-1)=\frac{1}{2}\frac{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \)

+С

[sir. Andrey]

\( \int{x\sqrt{x^2-1}}  dx=\frac{1}{2}\int{\sqrt{x^2-1}}d(x^2-1)=\frac{1}{2}\frac{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \)

+С

Всегда с этим "плюс цэ" были проблемы 

[tig81]

  Бывает.

[настена]

Спасибо, я сама уже поняла, что нужно использовать метод интегрирования по частям.

[tig81]

Спасибо, я сама уже поняла, что нужно использовать метод интегрирования по частям.

А при решении этот метод не использовался.

[настена]

А какой метод использовали тогда?
Образовалась еще одна проблемка с интегралом:
\( \int\frac{dx}{x\cdot\sqrt{ln(x)+1}}=\begin{vmatrix}
                                                         u=\sqrt{1+lnx}&  du=\frac{dx}{2*x*\sqrt{1+lnx}}\\
                                                         dv=xdx& v=\frac{{x}^2}{2}
                                                        \end{vmatrix}=\frac{\sqrt{1+lnx}*{x}^2}{2}-\int\frac{{x}^2}dx}{2\cdot2x\cdot\sqrt{ln(x)+1}}=\frac{\sqrt{1+lnx}*{x}^2}{2}-....... \)
не знаю какой множитель вынести за знак интеграла((((подскажите, пожалуйста!

[tig81]

А какой метод использовали тогда?

метод замены

Образовалась еще одна проблемка с интегралом:
\( \int\frac{dx}{x\cdot\sqrt{ln(x)+1}}=\begin{vmatrix}
                                                         u=\sqrt{1+lnx}&  du=\frac{dx}{2*x*\sqrt{1+lnx}}\\
                                                         dv=xdx& v=\frac{{x}^2}{2}
                                                        \end{vmatrix}=\frac{\sqrt{1+lnx}*{x}^2}{2}-\int\frac{{x}^2}dx}{2\cdot2x\cdot\sqrt{ln(x)+1}}=\frac{\sqrt{1+lnx}*{x}^2}{2}-....... \)
не знаю какой множитель вынести за знак интеграла((((подскажите, пожалуйста!

И здесь этот же метод. Подкоренное выражение замените как t^2.

[настена]

т.е. дальше это будет выглядеть так:  \( x=\frac{{t}^2}{\sqrt{lnx+1}};   dx=\frac{2*t\sqrt{lnx+1}-\frac{{t}^2}{2*x\sqrt{lnx+1}}}{lnx+1} ? \) 

[sir. Andrey]

\( \int \frac{dx}{x\sqrt{\ln{x}+1}} \)
Тут короче тема такая: \( (\ln{x})'=\frac{1}{x} \)
т.е. мы можем внести \( \frac{1}{x}  \) под знак дифференциала!!! 
\( \int \frac{d(\ln{x}+1)}{\sqrt{\ln{x}+1}}=\frac{(\ln{x}+1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C \)