Найти пределы, не используя правило Лопиталя

[Selena]

Подставляю в этот предел бесконечность \( \lim_{n \to \infty} \frac{(6*n^{3}-\sqrt{n^{2}+3})} {(\sqrt{4*n^{6}+3}-n)} \) получаю бесконечность/бесконечность. Начинаю лопиталить. получаю:
\( \lim_{n \to \infty}  \frac{18n^{2}-\frac{1}{2\sqrt{n^{2}+3}}*2n} {\frac{1}{2\sqrt{4n^6+3}}*24n^{5}-1} \)
сокращаю:
\(  \lim_{n \to \infty}  \frac{18n^{2}-\frac{n}{\sqrt{n^{2}+3}}} {\frac{12n^{5}}{\sqrt{4n^6+3}}-1} \)

Дальше еще раз Лопиталить?

[Selena]

Такая же ерунда получается с другим пределом \( \lim_{x \to \ 0 } \frac{3^{5x}-3^{7x}} {2x-tg3x} \)
Неопределенность 0/0
Если подставить эквиваленты, то предел сразу решается, не предоставляется возможность воспользоваться Лопиталем.
Поэтому Лопиталю первоначальный предел как он есть:
\( \lim_{x \to \ 0 } \frac{3^{5x}*ln3*5-3^{7x}*ln3*7}{2-\frac{1}{Cos^{2}3x}*3} \)
и как и с предыдущим пределом получаю после лопиталя некрасивую формулу, с которой не знаю что дальше делать.

[tig81]

Подставляю в этот предел бесконечность \( \lim_{n \to \infty} \frac{(6*n^{3}-\sqrt{n^{2}+3})} {(\sqrt{4*n^{6}+3}-n)} \) получаю бесконечность/бесконечность. Начинаю лопиталить. получаю:
\( \lim_{n \to \infty}  \frac{18n^{2}-\frac{1}{2\sqrt{n^{2}+3}}*2n} {\frac{1}{2\sqrt{4n^6+3}}*24n^{5}-1} \)
сокращаю:
\(  \lim_{n \to \infty}  \frac{18n^{2}-\frac{n}{\sqrt{n^{2}+3}}} {\frac{12n^{5}}{\sqrt{4n^6+3}}-1} \)
Дальше еще раз Лопиталить?

А попробуйие свести к общему знаменателю.

Такая же ерунда получается с другим пределом \( \lim_{x \to \ 0 } \frac{3^{5x}-3^{7x}} {2x-tg3x} \)
Неопределенность 0/0
Если подставить эквиваленты, то предел сразу решается, не предоставляется возможность воспользоваться Лопиталем.
Поэтому Лопиталю первоначальный предел как он есть:
\( \lim_{x \to \ 0 } \frac{3^{5x}*ln3*5-3^{7x}*ln3*7}{2-\frac{1}{Cos^{2}3x}*3} \)
и как и с предыдущим пределом получаю после лопиталя некрасивую формулу, с которой не знаю что дальше делать.

Неопределенность осталась?

[Selena]

Подставляю в этот предел бесконечность \( \lim_{n \to \infty} \frac{(6*n^{3}-\sqrt{n^{2}+3})} {(\sqrt{4*n^{6}+3}-n)} \) получаю бесконечность/бесконечность. Начинаю лопиталить. получаю:
\( \lim_{n \to \infty}  \frac{18n^{2}-\frac{1}{2\sqrt{n^{2}+3}}*2n} {\frac{1}{2\sqrt{4n^6+3}}*24n^{5}-1} \)
сокращаю:
\(  \lim_{n \to \infty}  \frac{18n^{2}-\frac{n}{\sqrt{n^{2}+3}}} {\frac{12n^{5}}{\sqrt{4n^6+3}}-1} \)
Дальше еще раз Лопиталить?

А попробуйие свести к общему знаменателю.

если нигде не ошиблась.. то получила:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{18n^{2}\sqrt{(n^{2}+3)(4n^{6}+3)}-n\sqrt{4n^{6}+3}} {-\sqrt{(n^{2}+3)(4n^{6}+3)}+12n^{5}\sqrt{4n^{6}+3}} \)

Такая же ерунда получается с другим пределом \( \lim_{x \to \ 0 } \frac{3^{5x}-3^{7x}} {2x-tg3x} \)
Неопределенность 0/0
Если подставить эквиваленты, то предел сразу решается, не предоставляется возможность воспользоваться Лопиталем.
Поэтому Лопиталю первоначальный предел как он есть:
\( \lim_{x \to \ 0 } \frac{3^{5x}*ln3*5-3^{7x}*ln3*7}{2-\frac{1}{Cos^{2}3x}*3} \)
и как и с предыдущим пределом получаю после лопиталя некрасивую формулу, с которой не знаю что дальше делать.

Неопределенность осталась?

нет) подставила 0,получила 2ln3.

[tig81]

нет) подставила 0,получила 2ln3.

верно, определенности нет, надеюсь, что посчитали верно, лень считать

Что касается первого предела: а можете отсканировать все преобразования, а то как-то несильно нравится.

[Selena]

сканера, к сожалению, нет.
опускаю знак предела, написала вот:
\(  \lim_{n \to \infty}  \frac{18n^{2}-\frac{n}{\sqrt{n^{2}+3}}} {\frac{12n^{5}}{\sqrt{4n^6+3}}-1} \) = \( \frac{18n^{2}\sqrt{n^{2}+3}-n} {\sqrt{n^{2}+3}} :\frac{12n^{5}-\sqrt{4n^{6}+3}}{\sqrt{4n^{6}+3}} \) =\( \frac{(18n^{2}\sqrt{n^{2}+3}-n)*\sqrt{4n^{6}+3}}{(12n^{5}-\sqrt{4n^{6}+3})*\sqrt{n^{2}+3}} \)=\( \frac{18n^{2}\sqrt{n^{2}+3}\sqrt{4n^{6}+3}-n\sqrt{4n^{6}+3}} {12n^{5}\sqrt{n^{2}+3}-\sqrt{4n^{6}+3}\sqrt{n^{2}+3}} \)=\( \lim_{n \to \infty} \frac{18n^{2}\sqrt{(n^{2}+3)(4n^{6}+3)}-n\sqrt{4n^{6}+3}} {-\sqrt{(n^{2}+3)(4n^{6}+3)}+12n^{5}\sqrt{n^{2}+3}} \)

[tig81]

числитель, первое слагаемое: выносите из первой скобки n^2, а из второй n^6 и затем n^8 из под корня
второе слагаемое: n^6 за корень

Знаменатель: первое слагаемое: выносите из первой скобки n^2, а из второй n^6 и затем n^8 из под корня
второе слагаемое: n^2 за корень

[Selena]

\( \frac {18n^{2}\sqrt{n^{2}(1+\frac{3}{n^{2}})}\sqrt{n^{6}(4+\frac{3}{n^{6}})}-n\sqrt{n^{6}(4+\frac{3}{n^{6}})}} {\sqrt{n^{2}(1+\frac{3}{n^{2}})}\sqrt{n^{6}(4+\frac{3}{n^{6}})}+12n^{5}\sqrt{n^{2}(1+\frac{3}{n^{2}})}   } \) =\( \frac{18n^{2}*n^{4}\sqrt{(1+\frac{3}{n^{2}})(4+\frac{3}{n^{6}})}-n*n^{3}\sqrt{4+\frac{3}{n^{6}}}} {-n*n^{3}\sqrt{(1+\frac{3}{n^{2}})(4+\frac{3}{n^{6}})}+12n^{5}*n\sqrt{1+\frac{3}{n^{2}}}   } \)   сокращаем на n^{4} получаем:
\( \frac{18n^{2}\sqrt{(1+\frac{3}{n^{2}})(4+\frac{3}{n^{6}})}-\sqrt{4+\frac{3}{n^{6}}}}  {-\sqrt{(1+\frac{3}{n^{2}})(4+\frac{3}{n^{6}})+12n^{2}\sqrt{1+\frac{3}{n^{2}}}}} \) дальше я решила сократить на этот страшный квадрат состоящий из двух множителей:
\( \frac{18n^{2}-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{3}{n^{2}}}}} {\frac{12n^{2}}{\sqrt{4+\frac{3}{n^{6}}}}-1}  \) дальше решила сократить на n^2   \( \frac{18-\frac{1}{n^{2}\sqrt{1+\frac{3}{n^{2}}}}}  {\frac{12}{\sqrt{4+\frac{3}{n^{6}}}}-\frac{1}{n^{2}}  }   \)
вроде как можно подставлять бесконечность, подставляю, получаю 18/6 =3
так?