Найти пределы, не используя правило Лопиталя

[Selena]

Скажите,пожалуйста, читала сейчас в инете литературу по пределам и правилу Лопиталя, наткнулась на такую фразу:"правила вычисления пределов не позволяют нам заменять на эквивалентные слагаемые (а не множители)". То есть получается, что заменять на эквивалент можно только, если в  выражении множители, а не слагаемые?
А я в своем 4-ом примере с тангенсом заменила на эквивалент, хотя у меня там разность в знаменателе, а не умножение.

[Dimka1]

Правильно написано, т.к. не во всех случаях (кроме Вашего) можно делать замену эквивалентными в суммах и разностях.


Например предел при x->0

lim [ sin( arctg(x) ) - tg( arcsin(x) ) ] / [sin(x) - tg(x) ]=?

При замене на эквивалент arctg(x) ~x и arcsin(x)~x получим

[sin(x) - tg(x) ] /[sin(x) - tg(x) ] =1, а это не верно. Реально будет 2 (см. график)

[Selena]

ну да 2 получается. А как же понять самой заранее можно применять эквивалент или нет?

И еще подскажите по данному заданию оказывается надо еще и по лопиталю решить. Прочитала, чтоб вспомнить Лопиталя, там мы берем производные от первоначального выражения, при чем можем несколько раз производные брать, но при этом неопределнность обязательно должна быть 0/0 или бесконечность/бесконечность.

Но при других неопределенностях типа   бесконечность –бесконечность  ,   бесконечность×0 ,  0^0 , бесконечность^0 там путем преобразований мы должны будем привести к виду     0/0 или бесконечность/бесконечность.

Так вот взяв мой первый же пример, мы получаем неопределенность (бесконечность/бесконечность)^бесконечность - такой неопределенности нет. Как тогда быть, упрощать сначала выражение опять вынося х за скобки?

И еще скажите Лопиталь применим к любому стремящемуся х  или n (будь-то хоть какое-то заданное число, хоть бесконечность).. прочитала литературу ,поняла что вроде бы "да".

[Dimka1]

ну да 2 получается. А как же понять самой заранее можно применять эквивалент или нет?

    Всё приходит с опытм. Опытные люди видят то, что не замечают другие.... Соответственно свой предел Вы врятли  сможете самостоятельно преобразовать в произведение.
   Однако опыт у инженеров производственников, которым математика читается 1,5-2 года мизерный. Поэтому для решения производственных задач лучше осваивать современные математические программы, которые пишут люди с большим математическим опытом. Они ошибок делают меньше и существенно экономят время.

Так вот взяв мой первый же пример, мы получаем неопределенность (бесконечность/бесконечность)^бесконечность - такой неопределенности нет. Как тогда быть, упрощать сначала выражение опять вынося х за скобки?

В данном случае достаточно применить правило Лопиталя для выражения, в скобках. Ведь оно имеет явную неопределенность типа бесконечность/бесконечность, подпадающее под правило Лопиталя. Если после применения правила в скобках получиться число, отличное от 1, то дальше его смело можно возводить в  бесконечную степень. Если получиться 1, то 1^(бесконечность)=неопределенность и придется искать решение другим способом, например предварительно прологарифмировав.

[Selena]

Благодарю за столь развернутый ответ.
Я как-то упустила то,что можно отдельно к выражению в скобках применить Лопиталя.
согласно этому, получается ,что для этого выражения \( \lim_{x \to \infty} (\frac {x-1} {3x+1})^{x+3}   \)
применяю правило Лопиталя для частного внутри скобок (беру производную от частного)
\( \lim_{x \to \infty} (\frac {(x-1)'*(3x+1)-(x-1)*(3x+1)}{(3x+1)^{2}})^{x+3}   \)
получаю после раскрытия скобок и сокращения:
\( \lim_{x \to \infty} (\frac {4} {(3x+1)^{2}})^{x+3}   \)
чего-то никакого особого упрощения выражения не получила

[Dimka1]

Нет!

У Вас предел вида lim [ f(x)/F(x) ]^(p(x))
соответственно производную берем от числителя и знаменателя, а не от ДРОБИ!

lim [ f'(x)/F'(x) ]^(p(x)) =lim [ (x-1)' / (3x+1)'  ]^(x+3) = [1/3]^(x+3)

[Selena]

тьфу блин, как так.
Чувствую я тут на долго поселюсь на форуме со своей контрольной.

[Dimka1]

тьфу блин, как так.
Чувствую я тут на долго поселюсь на форуме со своей контрольной.

Нужно вычислять производную от числителя и производную от знаменателя
f'(x)/F'(x)

а Вы вычислили ( f(x)/F(x) )' т.е. от дроби

[Selena]

тьфу блин, как так.
Чувствую я тут на долго поселюсь на форуме со своей контрольной.

Нужно вычислять производную от числителя и производную от знаменателя
f'(x)/F'(x)

а Вы вычислили ( f(x)/F(x) )' т.е. от дроби

Да, эт я поняла,что я взяла от дроби производную, а Вы отдельно от числителя, отдельно от знаменателя.
Я опять же не понимаю как заранее определить, когда сразу от дроби надо брать, а когда отдельно от её составляющих.

[Dimka1]

Правило Лопиталя используют для раскрытия неопределенности типа 0/0 или беск/беск. т.е. обязательно должна быть дробь. Соответсвенно для раскрытия неопределенности нужно брать производные от числителя и от знаменателя, но не от целой дроби.

[Selena]

Правило Лопиталя используют для раскрытия неопределенности типа 0/0 или беск/беск. т.е. обязательно должна быть дробь. Соответсвенно для раскрытия неопределенности нужно брать производные от числителя и от знаменателя, но не от целой дроби.

А,ясно, это я значит читала сегодня литературу невнимательно.

[Selena]

Я так понимаю,что к этим пределам моим применить правило Лопиталя нельзя?
\( \lim_{x \to \ 1 } (\frac{3}{ln(x)}-\frac{x}{ln(x)})  \)  так как в этом при подстановке получаем неопределенность 2/0
а в этом \( \lim_{x \to \(-1)} \frac {x^{3}-2x-1} {x^{4}+2x+3} \) 0/2
Так?

[tig81]

Я так понимаю,что к этим пределам моим применить правило Лопиталя нельзя?
\( \lim_{x \to \ 1 } (\frac{3}{ln(x)}-\frac{x}{ln(x)})  \)  так как в этом при подстановке получаем неопределенность 2/0

Это не неопределенность, и предел равняется бесконечности.
П.С. Знаменатели равны?

а в этом \( \lim_{x \to \(-1)} \frac {x^{3}-2x-1} {x^{4}+2x+3} \) 0/2
Так?

Тоже без неопределенности и ответ...?

[Selena]

Я так понимаю,что к этим пределам моим применить правило Лопиталя нельзя?
\( \lim_{x \to \ 1 } (\frac{3}{ln(x)}-\frac{x}{ln(x)})  \)  так как в этом при подстановке получаем неопределенность 2/0

Это не неопределенность, и предел равняется бесконечности.
П.С. Знаменатели равны?

Да,знаменателе равны. Получаем бесконечность,это ясно. Просто в задании звучит так найти пределы не используя правило Лопиталя, а потом еще дополнительно с помощью правило Лопиталя.Вот поэтому я и спросила как тут быть,просто написать в контрольной,что пр-ло Лопиталя нельзя применить к конкретно этим двум пределам??

а в этом \( \lim_{x \to \(-1)} \frac {x^{3}-2x-1} {x^{4}+2x+3} \) 0/2
Так?

Тоже без неопределенности и ответ...?

ответ 0.

[tig81]

Да,знаменателе равны. Получаем бесконечность,это ясно. Просто в задании звучит так найти пределы не используя правило Лопиталя, а потом еще дополнительно с помощью правило Лопиталя.Вот поэтому я и спросила как тут быть,просто написать в контрольной,что пр-ло Лопиталя нельзя применить к конкретно этим двум пределам??

Ну похоже, что так и надо написать.

ответ 0.

да.