Найти пределы, не используя правило Лопиталя

[Dimka1]

Скажите, а можно было посчитать,что 1/x - это бесконечно малая пос-ть и сразу принять,что выражение равно 1/3^(x+3) ?

Можно.

И еще поясните мне ,пожалуйста, вот мы принимаем ,что 1/бесконечность = это 0,  1/3^бесконечность это , а к примеру 2/0 =бесконечность...
вот к этому какими рассуждениями,каким путем мы приходим?

1/бесконечность = это 0
Возьмите 1 яблоко и разделите его на огромное кол-во людей. Сколько каждому человеку достанется? Правильно практически ничего, т.е. 0.
Или возьмите калькулятор и разделите 1/999999999999999999999. Получите 0.


1/3^бесконечность это 0
Возьмите калькулятор и возведите 1/3 в большую степень, например (1/3)^9999999999999999999999. Сколько на машинке показало? Правильно 0.


2/0 =бесконечность

здесь нужно рассматривать стремление к 0 с недостатком (0-0) и стремление к 0 с избытком (0+0).

2/(0-0)=2/(-0,0000000000000000001)=-беск
2/(0+0)=2/(0,0000000000000000001)=беск

График функции 2/x для наглядности может renuar911 покажет, Мне лень.

[Selena]

АААА, вон оно как.
Я просто нашла в интернете программу вычисления предела онлайн, но там только окончательный ответ.Так можено для проверки себя использовать.
Так вот по превому пределу, выдал ответ:0,x→+∞   и +∞,x→−∞
Я так понимаю при минус бескончености, мы получаем 1/3^ (-99999999999999999-3)
то есть получается корень 9999999999... степени из 1/3. А эта величина всегда будет стремится к плюс бесконечности..так чтоли?

[Dimka1]

По правилу преобразования степеней (1/3)^(-99999999999)=3^(9999999999999)=9999999999999999999 т.е. бесонечности

Только учтите, что 1^(беск), 0/0, 0^0, 0^(беск) и др. - это неопределенности и калькулятор с ними может не справиться.

[Selena]

Спасибо большое, а еще с двумя пределами поможете?

4) \( lim_{x \to \ 0 } \frac{3^{5x}-3^{7x}} {2x-tg3x} \) по условию эквивалентности получаю
\( lim_{x \to \ 0 } \frac{3^{5x}-3^{7x}} {2x-3x} \) =упрощаю \( lim_{x \to \0 } \frac{3^{5x}*(1-3^{2x})} {-x} \)  =
\( lim_{x \to \ 0 } 3^{5x} \) * \( lim_{x \to \0 } \frac{1-3^{2x}}{-x}  \)
А вот что дальше?

5) \( lim_{n \to \infty} \frac{(6*n^{3}-\sqrt{n^{2}+3})} {(\sqrt{4*n^{6}+3}-n)} \) C этим совсем не знаю как начать преобразовать.

[Dimka1]

4) используйте эквивалент

a^(p*x) ~ 1+x*(p*lna)

6) вынесите за скобку n^3 в числителе и в знаменателе.

[renuar911]

 4) (предел опускаю, хотя он есть):

\( \frac{(3^{5x}-1)-(3^{7x}-1)}{2x-3x}=\frac{5x \cdot  ln(3)-7x \cdot  ln(3)}{-x}=2ln(3) \)

[Selena]

Простите, не нашла, такой эквивалент точно существует?

[Dimka1]

Точно.

[Selena]

4) (предел опускаю, хотя он есть):

\( \frac{(3^{5x}-1)-(3^{7x}-1)}{2x-3x}=\frac{5x \cdot  ln(3)-7x \cdot  ln(3)}{-x}=2ln(3) \)

Ага, спасибо,я уже тоже расписала , в соответствии  с формулой, которую выложил Dimka1.
Скажите, ну а вывод этого эквивалента мне не надо писать, можно на него также сослаться в решении, как и на эквивалент с тангенсом к примеру?

[Dimka1]

Можно сослаться. Выводится путем разложения функции a^p*x в ряд Маклорена с ограничением по первым двум слагаемым. Однако, если это не проходили, то просто ссылка на замену эквивалентными бесконечно малыми и ВСЁ!

[Selena]

6) вынесите за скобку n^3 в числителе и в знаменателе.

вынесла вроде бы, получила:

 \( \lim_{n \to \infty} \frac{(6*n^{3}-\sqrt{n^{2}+3})} {(\sqrt{4*n^{6}+3}-n)} \) = \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3}*(6-\sqrt{\frac{1}{n^{4}}+\frac{3}{n^{6}}})} {n^{3}*(\sqrt{4+\frac{3}{n^{6}}}-\frac{1}{n^{2}})} \)=\( \lim_{n \to \infty} \frac{(6-\sqrt{\frac{1}{n^{4}}+\frac{3}{n^{6}}})} {(\sqrt{4+\frac{3}{n^{6}}}-\frac{1}{n^{2}})} \)
как теперь упростить?

[Dimka1]

дальше подставляйте "бесконечность"

[Selena]

итого:
6-sqrt(1/бесконечность+3/бесконечность)  / sqrt(4+3/бесконечность) -1/бесконечность = 6-sqrt(0+0) / sqrt(4+0)-0 =6/2=3

[Dimka1]

да

[Selena]

Когда ж  я наконец научусь сама определять,что можно подставлять уже бесконечность, а когда нельзя и надо дальше упрощать выражение.