Найти пределы, не используя правило Лопиталя

[Selena]

1.  \( \lim_{x \to \infty} (\frac {x-1} {3x+1})^{x+3}   \)

данный предел начала решать так: \( \lim_{x \to \infty} (\frac {x* (1-1/x)} {x*(3+1/x)})^{x+3}   \) = \( \lim_{x \to \infty} (\frac {(1-1/x)} {(3+1/x)})^{x}   \) * \(  (\frac {(1-1/x)} {(3+1/x)})^{3}  \) = \( \lim_{x \to \infty} (\frac {(1-1/x)^{x}} {{(1+1/3*1/x)}^{x}}   \) *\(  (\frac {(1-1/x)} {(3+1/x)})^{3}  \)=\(  \frac  {e^{-1}} {e^{1/3}} \)*\(  (\frac {(1-1/x)} {(3+1/x)})^{3}  \)

Правильно ли решаю и что делать дальше?

2. \( \lim_{x \to \(-1)} \frac {x^{3}-2x-1} {x^{4}+2x+3} \) = сократила на максимальную степень =\( \lim_{x \to \(-1)} \frac {1/x-2/x^{3}-1/x^{4}} {1+2/x^{3}+3/x^{4}} \)  дальше что просто подставить (-1) ?

3.\( \lim_{x \to \ 1 } (\frac{3}{ln(x)}-\frac{x}{ln(x)})  \) = привела к общему знаменателю \( \lim_{x \to \ 1 }\frac {3-x}{ln(x)} \)
дальше если подставить значение x=1  то получим деление на ноль 

[Dimka1]

В первом: Откуда е получаете? После вынесения x за скобки получите (1/3)^(бесконечность)=0 и все.

Во втором: если нет ошибки в знаменателе, то просто подставить x=-1

В третьем: аналогично.

[Selena]

 \( \lim_{x \to \infty} (\frac {(1-1/x)^{x}} {{(1+1/3*1/x)}^{x}}   \)  разве нельзя это выражение представить как частное двух пределов и в каждом из них воспользоваться вторым замечательным пределом?  ведь выражение \( \lim_{x \to \infty} (1+k/x)^{x}  \) = \( e^{k} \) верно.

 \(  \frac {\lim_{x \to \infty} (1-1/x)^{x}}  {\lim_{x \to \infty}(1+1/3*1/x)^{x}}   \)

[Dimka1]

Можно конечно выделить замечательный предел, но зачем все эти вывороты, когда сразу можно подставить?!

[Selena]

1) Я не понимаю, почему если можно через замечательные пределы решить, то я получаю отличный от Вашего ответ в конце.
У меня то он не ноль.
И я не понимаю,почему после выноса за скобки х, остается (1/3)^(бесконечность)=0

2. А зачем тогда я вообще делила на Х^4 ? Можно ж тогда сразу подставить  вместо x =-1?
 и получу \(  \frac{(-1)^{3}+2-1} {-1^{4}-2+3}  \)
В итоге равняется все это 0. так?
3.если подставлю значение x=1 , то получу 2/ln1= 2/0 = бесконечность ?

[Dimka1]

1) Я не понимаю, почему если можно через замечательные пределы решить, то я получаю отличный от Вашего ответ в конце.
У меня то он не ноль.

Потому, что в знаменателе 3 за скобку неправильно вынесли.

2. А зачем тогда я вообще делила на Х^4 ? Можно ж тогда сразу подставить  вместо x =-1? В итоге равняется все это 0. так?

Не знаю зачем делили! В ответе 0.

3.если подставлю значение x=1 , то получу 2/ln1= 2/0 = бесконечность ?

здесь нужно рассматривать 0+0 и 0-0, т.е. стремление к нулю справа и слева. Соответственно будет +беск. и - беск.

[renuar911]

Этот предел можно рассмотреть в общем виде:


\( \lim \limits_{x \to \infty}\left(\frac {ax+b}{kax+b1}\right)^{cx+d} \)

\( if \quad  0 \leq  k<1 \ \quad then \quad \lim = \infty \)

\( if \quad  k=1 \quad then \quad \lim = e^{\frac{c}{a}(b-b_1)} \)

\( if \quad  k>1 \quad then \quad \lim = 0 \)

У вас третий случай, поэтому предел равен нулю.

[Dimka1]

Если она этим воспользуется, то на защите будет доказывать эти соотношения или должна будет дать ссылку на источник (не на форум!), откуда эти соотношения заимствованы. Лучше эти доказательства привести сразу в решении на ее частном примере.

[renuar911]

Когда я читаю лекции по пределам, то рекомендую записывать подобные общие формулы - их совсем немного, около 25. Зато сразу находится правильный ответ, зная который, уже осмысленно ищется верная технология вычисления предела. Заметьте - на дворе не 19 век. Но это еще не все. В нашем примере 3 возможных случая. Так я предлагаю не частный пример рассматривать (с числовыми коэффициентами), а три общих случая с подведением ко 2-му замечательному. Подготовка, следовательно, моих студентов оказывается намного выше.

[Selena]

renuar911 Спасибо, но не могу же я преподавателю в таком сокращенном виде написать, вернее его решение, надо развернуто мне прийти к ответу.

1) пробую еще раз.Уже когда сократила на x и получила выражение:
\(  \lim_{x \to \infty}(\frac{1-\frac{1}{x}} {3+\frac{1}{x}})^{x}  \) * \( \lim_{x \to \infty}(\frac{1-\frac{1}{x}} {3+\frac{1}{x}})^{3} \)
далее работаю пока только с первым множителем этого выражения, распишу его как частное двух пределов:
\(  \lim_{x \to \infty}(\frac{1-\frac{1}{x}} {3+\frac{1}{x}})^{x}  \)=\(  \frac{\lim_{x \to \infty}(1-\frac{1}{x})^{x}}{\lim_{x \to \infty}(3+\frac{1}{x})^{x}}  \) В числителе это первый замечательный предел
в знаменателе вынесу 3 за скобки, получу: \( e^{-1} \) / \( \lim_{x \to \infty}(3*(1+\frac{\frac{1}{3}}{x})^{x} \) ну а дальше опять какая-то каша, но никак не ноль у меня.

3) поясните, пожалуйста, как рассмотреть стремление к нулю справа и слева?
И вообще про определенности где можно почитать, что к примеру 2/0 = бесконечность... ? а то в лекциях своих старых такого не нашла.

[Dimka1]

[ (x-1)/(3x-1) ]^(x+3)= [ (1-1/x)/(3-1/x) ]^(x+3)= [ (1-1/беск)/(3-1/беск) ]^(беск+3)=[ (1-0)/(3-0) ]^(беск)=(1/3)^(беск)=0

[renuar911]

Замена упрощает технологию:

\( 3x+1=t \, \to \, \lim \limits_{t \to \infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{4}{3t}\right)^{\frac{t}{3}+2/3} = 0 \)

Но по большому счету, в данном примере единички пренебрежительно малы по сравнению с x  и поэтому

\( \lim \limits_{x \to \infty} \left(\frac{x-1}{3x+1}\right)^{x+3}= \lim \limits_{x \to \infty} \left(\frac{x}{3x}\right)^{x+3}=\lim \limits_{x \to \infty} \left(\frac{1}{3}\right)^{x+3}=0  \)

[Dimka1]

Selena, ну Вы хоть поняли или нет?

[Selena]

[ (x-1)/(3x-1) ]^(x+3)= [ (1-1/x)/(3-1/x) ]^(x+3)= [ (1-1/беск)/(3-1/беск) ]^(беск+3)=[ (1-0)/(3-0) ]^(беск)=(1/3)^(беск)=0

Вот это выражение я поняла, мы туда получается сразу после упрощения ,подставляем  вместо x  бесконечность.
Я вот только пересмотрела свои старые тетрадки с практической рабоотой,лекции, не нашла таких примеров, чтоб бесконечность подставляли,почти везде мы там что-то упрощали,приводили к какому-то выводу. Как просто догадаться  сразу,что можно подставить бесконечность и не упрощать далее выражение, как я это делала до потери пульса.

Скажите, а можно было посчитать,что 1/x - это бесконечно малая пос-ть и сразу принять,что выражение равно 1/3^(x+3) ?

И еще поясните мне ,пожалуйста, вот мы принимаем ,что 1/бесконечность = это 0,  1/3^бесконечность это , а к примеру 2/0 =бесконечность...
вот к этому какими рассуждениями,каким путем мы приходим?
Заранее спасибо. Просто я уже давно очень это проходила, подняв только свои лекции трудно восстановить всю картинку в памяти.

[Selena]

И еще у меня вопрос, как рассмотреть решение 1-го выражения при плюс бесконечности и при минус бесконечности.