Вычисление предела по правилу Лопиталя

[kiri4]

Помогите решить предел по правилу Лопиталя или просто объясните как правильно решить данный предел:

[testtest]

что за преподы дают такие задания.
этот предел будет равен \( 0^0 = 1 \)

[renuar911]

Если разложить в ряд Тэйлора, то так оно и есть. После замены x=t+pi получил:

\( \lim \limits_{t \to 0^-}[-\sin(t)]^{-t} \)

Как тут применить Лопиталя - не очень понимаю.

[testtest]

лопиталя-то понятно:
\( \frac{\sin^\pi x}{\sin^x x} \)
только это будет из москвы в петербург через пригород магадана

[kiri4]

Проверьте пожалуйста правильно записал я решение к данному уравнению.

[Данила]

во 1ых. это не уравнение,а предел
во 2ых. Вы же написали, что нужно лопиталить. в вашем решении я оного не увидел.testtest написал,как преобразовать ваш предел,чтобы можно было решить по Лопиталю

[kiri4]

Правильно?

[renuar911]

Ответ верный. Это же доказывает график

[kiri4]

Спс,но меня просто волнует оформление решения.Надо будет преподу объяснять как я решал этот пример.Нет никаких косяков в решении моем?Есть к чему придраться?

[renuar911]

Я взял производную числителя:

\( \left[ \sin \left( x \right)  \right] ^{\pi -1}\pi \,\cos \left( x \right)
 \)

и знаменателя

\( \left[ \sin \left( x \right)  \right] ^{x-1} \left[ \ln  \left( \sin \left( x \right)  \right) \sin \left( x \right) +x\cos \left( x
 \right)  \right] \)

Что-то посложнее, чем у Вас...

[renuar911]

Отношения производных тоже в пределе дают 1, но доказать это еще труднее, чем до взятия производных. Самое простое оказалось сделать замену x=t+pi и тогда (после эквивалентной замены синуса) приходим к пределу

\( \lim \limits_{t \to 0} (-t)^{-t} \)

Этот предел, как известно, равен 1.

[kiri4]

А как это там в знаменателе получается натуральный логарифм?

[renuar911]

Нууу! Это ж элементарно! Есть правило дифференцирования. Например:

\( y=x^x;\quad y'={x}^{x} \left[ \ln  \left( x \right) +1 \right]  \)

См, например, в ссылка  - левая колонка, третья призводная сверху.

[kiri4]

а причем тут х в степени х?У нас же sin(x) в степени х....

[renuar911]

Поэтому под логарифмом и написал sin(x). Вам надо производные хорошенько вспомнить. Мне кажется, что Лопиталь в данном случае - тупиковый метод. Или нужно сформировать другую дробь, где данный метод облегчает поиск предела.